2京都大学 2016年 数学 第2問解答・解説

$p,q$ の対称性から、$p\le q$ としてよい。

まず $p=q$ のとき $$p^q+q^p=2p^p$$ は $2$ の倍数であり、$p\ge2$ より $2p^p\ge8$ なので素数ではない。

次に $p<q$ とする。$p\ge3$ ならば $p,q$ はともに奇素数であるから、$p^q+q^p$ は偶数である。また $p^q+q^p>2$ なので素数ではない。

残るのは $p=2<q$ の場合である。このとき $q$ は奇素数である。$q=3$ なら $$2^3+3^2=17$$ であり、$\sqrt{17}<5$ だから、$17$ は $2$ と $3$ のいずれでも割り切れず素数である。

$q\ne3$ とすると、素数 $q\ge5$ は $3$ で割ると余りが $1$ または $2$ であるため、$q^2$ を $3$ で割った余りは $1$ である。また $q$ は奇数なので $$2^q=2\cdot(2^2)^{(q-1)/2}\equiv 2\cdot1^{(q-1)/2}\equiv2\pmod3.$$ したがって $2^q+q^2$ は $3$ で割り切れる。しかも $q\ge5$ だから $2^q+q^2>3$ であり、素数ではない。

以上より、素数となる値は $p,q$ の順序が $(2,3)$ または $(3,2)$ のときの $17$ だけである。