5京都大学 2016年 数学 第5問解答・解説

$p_n=\Pr(x_n=0),\ q_n=\Pr(x_n=1),\ r_n=\Pr(x_n=2)$ とおく。端の列 $x=0,2$では、同じ列の上下点へ確率 $1/2$、隣の列へ確率 $1/2$。

中央列 $x=1$では、3方向へ各 $1/3$。$s_n=p_n+r_n,\quad d_n=p_n-r_n$ とおくと、$q_n=1-s_n$ である。$\displaystyle p_{n+1}=\frac12p_n+\frac13q_n,\quad r_{n+1}=\frac12r_n+\frac13q_n$ より

$$\displaystyle d_{n+1}=\frac12d_n,\quad s_{n+1}=\frac12s_n+\frac23(1-s_n)=\frac23-\frac16s_n\text{。}$$

$s_0=d_0=1$ だから $d_n=2^{-n}$。

$$\displaystyle s_{n+1}-\frac47=-\frac16\left(s_n-\frac47\right),\quad s_0-\frac47=\frac37$$

より $\displaystyle s_n=\frac47+\frac37\left(-\frac16\right)^n$。

$$\displaystyle \therefore\ p_n=\frac{s_n+d_n}{2}=\frac27+\frac{3}{14}\left(-\frac16\right)^n+\frac{1}{2^{n+1}}\text{。}$$