京都大学 2016年数学第6問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

京都大学2016年度第6問配点 35点

複素数を係数とする2次式 f(x)=x^2+ax+b に対し，次の条件を考える．（イ）f(x^3) は f(x) で割り切れる．（ロ）f(x) の係数 a，b の少なくとも一方は虚数である．この2つの条件（イ），（ロ）を同時に満たす2次式をすべて求めよ．

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(イ)・(ロ)
$\displaystyle \omega=\frac{-1+i\sqrt3}{2}$ とすると、 $x^2+\omega x+\omega^2$ 、 $x^2-\omega x+\omega^2$ 、 $x^2+\omega^2x+\omega$ 、 $x^2-\omega^2x+\omega$ 、 $x^2+i\sqrt2x-1$ 、 $x^2-i\sqrt2x-1$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

f(x)で割った余りが0になる条件を、x^2≡−ax−bを使って求めた。u=a^2−bとおくとx^3≡ux+abであり、f(x^3)の余りはxの係数が au(1−a^2+3b)、定数項が b{1−u^2+a^2(b+1)} となる。したがって両方を0とする条件を、積の各因子に注目して場合分けする。

a=0では b=0,±1 で実数係数。u=0、つまりb=a^2では、b≠0の場合にc=a^2がc^2+c+1=0を満たすので、a=(±1±i√3)/2（4通り）、b=a^2。最後の因子1−a^2+3b=0では b=(a^2−1)/3 を定数項に代入すると b(4−a^2)(a^2+2)/9=0。実数係数の候補を除くと a=±i√2,b=−1 が残る。この場合分けは余り条件(*)のすべての因子を尽くし、各残った係数は(*)を満たす。

旧採用答案の6式と一致し、余りの式・場合分け・非実係数条件の適用に誤りは見つからなかった。

この問題で使う考え方

二次式による多項式の剰余計算
余りの係数を0とする必要十分条件
積の因数ごとの場合分け
二次方程式で複素数係数を決定

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。