3佐賀大学 2016年 数学 第3問解答・解説

実数 $a,b$ は $a\ge 0$，$b\ge 0$，$a^2+b^2=1$ を満たすとする。

(1)　 $a^2+b^2=1$，$a\ge0$，$b\ge0$ より，$\cos\theta=a$，$\sin\theta=b$ を満たす $\displaystyle 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ の範囲の $\theta$ がただ一つ定まる。加法定理 $\sin(x-\theta)=\sin x\cos\theta-\cos x\sin\theta$ より $$a\sin x-b\cos x=\cos\theta\sin x-\sin\theta\cos x=\sin(x-\theta)$$ であるから $$\displaystyle S=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigl|\sin(x-\theta)\bigr|\,dx .$$ $\displaystyle 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ のとき，$x$ が $0$ から $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}$ まで動くと $x-\theta$ は $-\theta$ から $\displaystyle \dfrac{\pi}{2}-\theta$ まで動き，この範囲では $\displaystyle -\dfrac{\pi}{2}\le x-\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ が成り立つ。したがって $x<\theta$ のとき $x-\theta<0$ より $\sin(x-\theta)\le0$，$x\ge\theta$ のとき $x-\theta\ge0$ かつ $\displaystyle x-\theta\le\dfrac{\pi}{2}-\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ より $\sin(x-\theta)\ge0$ である（$\theta=0$ または $\displaystyle \theta=\dfrac{\pi}{2}$ のときは一方の区間の幅が $0$ になるだけで以下の計算はそのまま成り立つ）。よって $x=\theta$ で積分区間を分けると $$\displaystyle S=\int_0^{\theta}\bigl(-\sin(x-\theta)\bigr)\,dx+\int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x-\theta)\,dx .$$ $\displaystyle\int(-\sin(x-\theta))\,dx=\cos(x-\theta)$，$\displaystyle\int\sin(x-\theta)\,dx=-\cos(x-\theta)$ であるから $$\displaystyle \int_0^{\theta}(-\sin(x-\theta))\,dx=\bigl[\cos(x-\theta)\bigr]_0^{\theta}=\cos0-\cos(-\theta)=1-\cos\theta,$$ $$\displaystyle \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}}\sin(x-\theta)\,dx=\bigl[-\cos(x-\theta)\bigr]_{\theta}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\cos0=1-\sin\theta .$$ したがって $$S=(1-\cos\theta)+(1-\sin\theta)=2-(\cos\theta+\sin\theta)=2-a-b .$$ （検算：$a=1,b=0$ のとき $\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=1$，公式では $2-1-0=1$ で一致。$a=0,b=1$ のとき $\displaystyle S=\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=1$，公式では $2-0-1=1$ で一致。$\displaystyle a=b=\frac{\sqrt2}{2}$ のとき $\displaystyle a\sin x-b\cos x=\frac{1}{\sqrt2}\sin\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ なので直接積分すると $2-\sqrt2$ となり，公式 $2-a-b=2-\sqrt2$ と一致する。）

よって $$\boxed{S=2-a-b}$$

(2)　 (1) より $S=2-(a+b)$ であるから，$S$ の最大・最小は，条件 $a\ge0,\ b\ge0,\ a^2+b^2=1$ のもとでの $a+b$ の最小・最大に対応する。

まず $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=1+2ab$$ であり，$a\ge0,\ b\ge0$ より $ab\ge0$ だから $$(a+b)^2\ge1,\qquad\text{すなわち } a+b\ge1$$ （$a+b\ge0$ なので平方して比較してよい）。等号は $ab=0$，すなわち $a=0$ または $b=0$ のときで，このとき $a^2+b^2=1$ と合わせて $(a,b)=(1,0)$ または $(0,1)$ である。

一方，$(a-b)^2\ge0$ より $a^2+b^2\ge2ab$ であるから $$2(a^2+b^2)\ge a^2+2ab+b^2=(a+b)^2,\qquad\text{すなわち } (a+b)^2\le2,$$ よって $a+b\le\sqrt2$ である。等号は $a=b$ のときで，$a^2+b^2=1$ と合わせて $\displaystyle a=b=\dfrac{\sqrt2}{2}$ である（このとき $a\ge0,b\ge0$ を満たす）。

以上より，$a\ge0,\ b\ge0,\ a^2+b^2=1$ のもとで $$1\le a+b\le\sqrt2$$ であり，両端はいずれも実際に実現される。したがって $S=2-(a+b)$ について $$2-\sqrt2\le S\le1$$ がすべて実現され，

$S$ の最大値は $1$（$(a,b)=(1,0)$ または $(0,1)$ のとき），

$S$ の最小値は $2-\sqrt2$（$\displaystyle a=b=\dfrac{\sqrt2}{2}$ のとき）

である。

単位円の条件からa,bを余弦・正弦に置き、加法定理を使う。符号が変わる点で積分を分ける。最後はa+bの範囲を決めてSの最大値・最小値を求める。