2佐賀大学 2016年 数学 第2問解答・解説

第2問の2曲線の交点を求める。$0\le x<\pi/2$ では $\cos x>0$ なので $$\displaystyle \frac32\tan x=\cos x \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad \frac32\sin x=1-\sin^2x.$$ $s=\sin x$ とすると $2s^2+3s-2=0$、したがって $s=1/2$ または $s=-2$。定義域では $0\le s<1$ だから交点は $x=\pi/6$ のみである。$x=0$ では $\displaystyle \frac32\tan x<\cos x$ なので、交点の一意性と連続性から前者は $0\le x\le\pi/6$ の範囲で下、後者は $\pi/6\le x\le\pi/2$ の範囲で下側境界となる。上側境界は $$\displaystyle f(x)= \begin{cases} \frac32\tan x,&0\le x\le\pi/6,\\ \cos x,&\pi/6\le x\le\pi/2. \end{cases}$$ よって回転体の体積は $$\displaystyle V=\pi\int_0^{\pi/6}\left(\frac32\tan x\right)^2dx +\pi\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cos^2x\,dx.$$ $$\displaystyle \int_0^{\pi/6}\tan^2x\,dx =\left[\tan x-x\right]_0^{\pi/6} =\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\pi}{6},$$ $$\displaystyle \int_{\pi/6}^{\pi/2}\cos^2x\,dx =\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}\right]_{\pi/6}^{\pi/2} =\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}.$$ したがって $$\displaystyle V=\frac{9\pi}{4}\left(\frac{\sqrt3}{3}-\frac{\pi}{6}\right) +\pi\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}\right) =\boxed{\frac{5\pi(3\sqrt3-\pi)}{24}}.$$