1名古屋市立大学 2016年 数学 第1問解答・解説

$c=\cos\theta,\ s=\sin\theta$ とおく。扇形を極座標で表すと $0\le r\le1,\ 0\le\phi\le\theta$。まず $0<\theta<\pi/2$ とする。 (1) $x$ 軸回転では、$0\le x\le c$ の断面半径は $x\tan\theta$、$c\le x\le1$ では $\sqrt{1-x^2}$。よって $$\displaystyle V_1(\theta)=\pi\left\{\tan^2\theta\int_0^c x^2\,dx+\int_c^1(1-x^2)\,dx\right\} =\frac{2\pi}{3}(1-c) =\frac{2\pi}{3}(1-\cos\theta).$$ $\theta=\pi/2$ では四分円を $x$ 軸の周りに回すので $$\displaystyle V_1(\pi/2)=\pi\int_0^1(1-x^2)\,dx=\frac{2\pi}{3},$$ これも同じ式に一致する。 (2) $y$ 軸回転では、$0\le y\le s$ において横切る線分の両端は $x=y\cot\theta$ と $x=\sqrt{1-y^2}$。したがって断面はこの2距離を半径とする円環で、 $$\displaystyle V_2(\theta)=\pi\int_0^s\left\{(1-y^2)-y^2\cot^2\theta\right\}\,dy =\pi\int_0^s(1-y^2\csc^2\theta)\,dy =\frac{2\pi}{3}s =\frac{2\pi}{3}\sin\theta.$$ (3) $$\displaystyle V(\theta)=V_2(\theta)-V_1(\theta) =\frac{2\pi}{3}(\sin\theta+\cos\theta-1),\qquad 0<\theta\le\frac{\pi}{2}.$$ 導関数は $\displaystyle V'(\theta)=\frac{2\pi}{3}(\cos\theta-\sin\theta)$。よって $0<\theta<\pi/4$ で増加し、$\pi/4<\theta\le\pi/2$ で減少する。最大点は $$\displaystyle \left(\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}(\sqrt2-1)\right).$$ また $\displaystyle \lim\limits _{\theta\to0+}V(\theta)=0$、$V(\pi/2)=0$、$0<\theta<\pi/2$ では $V(\theta)>0$。したがってグラフは $(0,0)$ に右から近づき、上の最大点を通って、端点 $(\pi/2,0)$ に下がる。

x軸回転は縦断面を円板として積分し、y軸回転は横断面を円環として積分する。2つの体積はそれぞれ$\displaystyle \frac{2\pi}{3}(1-\cos\theta)$、$\displaystyle \frac{2\pi}{3}\sin\theta$。差は $\sin\theta+\cos\theta-1$ に比例し、微分すると $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ で最大となり、$\theta\to0+$ と $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{2}$ では $0$となる。