4名古屋市立大学 2016年 数学 第4問解答・解説

$\displaystyle I_k=\int_0^k f_k(x)\,dx$ とおくと $$I_k=\left[-x^3-x^2+a_kx\right]_0^k=-k^3-k^2+ka_k.$$

(1) $I_{k+1}=I_k-k^2-k$ に代入し整理すると $$\displaystyle (k+1)a_{k+1}=ka_k+2(k+1)^2, \quad\text{すなわち}\quad a_{k+1}=\frac{k}{k+1}a_k+2(k+1).$$

(2) $b_k=ka_k$ とおけば $b_{k+1}=b_k+2(k+1)^2$。$b_1=2$ より $$\displaystyle b_k=2\sum\limits _{j=1}^k j^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}3, \qquad a_k=\frac{(k+1)(2k+1)}3.$$

(3) (2)を $I_k$ に代入すると $$\displaystyle I_k=-k^3-k^2+\frac{k(k+1)(2k+1)}3=-\frac{k^3-k}{3}.$$ 従って $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^n\int_0^k f_k(x)\,dx =-\frac13\left(\sum\limits _{k=1}^n k^3-\sum\limits _{k=1}^n k\right) =-\frac{n(n+1)(n-1)(n+2)}{12}.$$

積分を先に計算して $I_k=-k^3-k^2+ka_k$ とする。与えられた隣接積分の関係から $(k+1)a_{k+1}=ka_k+2(k+1)^2$。$b_k=ka_k$ に置き換えると平方和の和になり、$a_k$ の式が得られる。これを $I_k$ へ代入して $\displaystyle -\frac{k^3-k}{3}$ を得て、立方和と自然数和の公式で総和する。