3名古屋市立大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $\vec a=(a_1,a_2,0)$、$\vec b=(0,b_1,b_2)$ とし、なす角を $\theta$ とする。$\vec a,\vec b$ は平行でないので $0<\theta<\pi$。さらに $$|\vec a|^2=a_1^2+a_2^2,\quad |\vec b|^2=b_1^2+b_2^2,\quad \vec a\cdot\vec b=a_2b_1.$$ したがって $$4S^2=|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2=a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_2^2.$$ 面積は正なので、$D=\sqrt{a_1^2b_1^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_2^2}$ とおけば $S=D/2$。

(2) $\overrightarrow{OP}=(x,y,z)$ とする。平面OABに垂直である条件は $$a_1x+a_2y=0,\qquad b_1y+b_2z=0.$$ よって $(x,y,z)=t(a_2b_2,-a_1b_2,a_1b_1)$。括弧内ベクトルの長さは $D$ なので、$|\overrightarrow{OP}|=1$ より $t=\pm1/D$。従って $$\displaystyle P=\pm\frac{(a_2b_2,-a_1b_2,a_1b_1)}{D}.$$

(3) 単位法線ベクトル $\vec n=(a_2b_2,-a_1b_2,a_1b_1)/D$ を取る。高さは $$\displaystyle h=|\vec c\cdot\vec n|=\frac{a_2b_2c_1+a_1b_1c_2}{D},$$ ここで各変数が正だから分子も正である。したがって $$\displaystyle V=\frac13Sh=\frac13\cdot\frac D2\cdot\frac{a_2b_2c_1+a_1b_1c_2}{D}=\frac{a_2b_2c_1+a_1b_1c_2}{6}.$$

成分で内積と長さを計算し、三角形の面積を導く。二つの平面内ベクトルへの直交条件を連立して法線方向を得て、その長さで正規化する。四面体の高さは法線方向への成分の絶対値であり、正値条件が絶対値を外せることを保証する。