3山形大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) $u=\overrightarrow{AB}$, $v=\overrightarrow{AC}$ とおく。$|BC|^2=|u-v|^2$ だから、内積の展開より $$5=3+4-2u\cdot v, \qquad u\cdot v=1.$$ また $$\displaystyle \cos A=\frac{u\cdot v}{|u||v|}=\frac1{2\sqrt3}, \qquad \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\frac{\sqrt{33}}6.$$ よって三角形の面積は $$\displaystyle S=\frac12|AB||AC|\sin A =\frac12\cdot\sqrt3\cdot2\cdot\frac{\sqrt{33}}6 =\frac{\sqrt{11}}2.$$

(2) Pは辺BC上にあるため、$0\leq t\leq1$として $$\overrightarrow{AP}=(1-t)u+tv$$ と表せる。$|AP|=|AB|=\sqrt3$ を二乗し、(1)の内積を使うと $$3=|(1-t)u+tv|^2 =3(1-t)^2+2t(1-t)+4t^2 =3-4t+5t^2.$$ したがって $t(5t-4)=0$。$t=0$は$P=B$にあたるが、条件で$P\neq B$なので $\displaystyle t=\frac45$。ゆえに $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac15\overrightarrow{AB}+\frac45\overrightarrow{AC}.$$

(3) Aを原点とし、AB方向とAC方向の係数を座標として使う。$S>0$なのでこの2方向は平行でなく、係数で点を表せる。すると $$A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(0,1),\quad Q=(1/2,0),\quad P=(1/5,4/5).$$ Rは直線AP上だから $\displaystyle R=(\frac{\lambda}{5},\frac{4\lambda}{5})$。また直線CQ上の点は $\displaystyle (\frac{\mu}{2},1-\mu)$ と表せる。係数を等しくして $$\displaystyle \frac\lambda5=\frac\mu2,\qquad \frac{4\lambda}5=1-\mu$$ を解く。第1式から $\displaystyle \mu=\frac{2\lambda}{5}$、第2式へ代入して $\displaystyle \frac{6\lambda}{5}=1$、よって $\displaystyle \lambda=\frac56$、$\displaystyle \mu=\frac13$。したがって $\displaystyle R=(\frac16,\frac23)$。

AQはABの半分なので $\displaystyle \frac{AQ}{AB}=\frac12$。座標の第2成分はABからの高さを表し、Rの高さはCの高さの$\displaystyle \frac23$である。よって底辺と高さをそれぞれ比べて $$\displaystyle \frac TS=\frac{AQ}{AB}\cdot\frac{h_R}{h_C} =\frac12\cdot\frac23=\frac13.$$ したがって $$\displaystyle T=\frac S3=\frac{\sqrt{11}}6.$$