長崎大学／2016年度／前期

長崎大学 2016年数学第4問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

長崎大学2016年度第4問

1辺の長さが2の立方体 $ABCD-EFGH$ がある。下の図1のように、2辺 $BC, CD$ 上に、 $BS=CT=x\ (0\leq x\leq2)$ を満たす点 $S,T$ をとる。このとき、三角形 $EST$ の面積の最大値と最小値を求めたい。以下の問いに答えよ。

図1は立方体ABCD-EFGHで、上面の手前右にA、奥右にB、奥左にC、手前左にD、対応する下面にE、F、G、Hがある。辺BC上のSとCD上のTは黒点で、STは実線、ESとETは破線で描かれ、辺CG、GH、GFも破線である。辺DHの左に長さ2の括弧があり、下に「図1」と表示される。

図2は三角形OPQで、Oが左下、Pが右下、Qが上に表示されている。OPとOQにはOから各頂点へ向かう矢印があり、それぞれベクトルp、qが表示され、Oの角にはθの角弧がある。下に「図2」と表示される。

(1) 右の図2を参考にして、三角形 $OPQ$ において $\overrightarrow{OP}=\vec{p},\quad\overrightarrow{OQ}=\vec{q}$ とおくとき、三角形 $OPQ$ の面積は $\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{|\vec{p}|^{2}|\vec{q}|^{2}-(\vec{p}\cdot\vec{q})^{2}}$ と表されることを証明せよ。

(2) $\overrightarrow{EF}=\vec{a},\quad\overrightarrow{EH}=\vec{b},\quad\overrightarrow{EA}=\vec{c}$ とおく。立方体の1辺の長さが2であることに注意して、 $\overrightarrow{ES},\overrightarrow{ET}$ を $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ および $x$ を用いて表せ。また、 $|\overrightarrow{ES}|^{2},|\overrightarrow{ET}|^{2}$ を、それぞれ $x$ の式として表せ。さらに、 $\overrightarrow{ES}$ と $\overrightarrow{ET}$ の内積 $\overrightarrow{ES}\cdot\overrightarrow{ET}$ は、 $x$ によらない一定の値になることを示せ。

(3) 上の(1)を利用して三角形 $EST$ の面積 $f(x)$ を求めよ。

(4) $0\leq x\leq2$ の範囲で、 $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。また、そのときの $x$ の値も答えよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 三角形 $OPQ$ の面積は $\displaystyle \frac12\sqrt{|\vec p|^2|\vec q|^2-(\vec p\cdot\vec q)^2}$ 。(2) $\displaystyle \overrightarrow{ES}=\vec a+\frac{x}{2}\vec b+\vec c$ 、 $\displaystyle \overrightarrow{ET}=(1-\frac{x}{2})\vec a+\vec b+\vec c$ 、 $|\overrightarrow{ES}|^2=x^2+8$ 、 $|\overrightarrow{ET}|^2=x^2-4x+12$ 、 $\overrightarrow{ES}\cdot\overrightarrow{ET}=8$ 。(3) $\displaystyle f(x)=\frac12\sqrt{x^4-4x^3+20x^2-32x+32}$ 。(4) 最大値 $2\sqrt2$ （ $x=0,2$ ）、最小値 $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2$ （ $x=1$ ）。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

立方体辺長 $2$ ・ $0\le x\le2$ を原文で確認。 $\displaystyle \overrightarrow{ES}=\vec a+\frac{x}{2}\vec b+\vec c$ 、 $\displaystyle \overrightarrow{ET}=(1-\frac{x}{2})\vec a+\vec b+\vec c$ から $|\overrightarrow{ES}|^2=x^2+8$ 、 $|\overrightarrow{ET}|^2=x^2-4x+12$ 、 $\overrightarrow{ES}\cdot\overrightarrow{ET}=8$ 。面積公式より $\displaystyle f(x)=\frac12\sqrt{x^4-4x^3+20x^2-32x+32}$ 。 $t=x-1,\ u=t^2$ とすれば根号内 $=t^4+14t^2+17=u^2+14u+17$ で単調増加、 $0\le u\le1$ 。最小 $\displaystyle \frac{\sqrt{17}}2$ は $x=1$ 、最大 $2\sqrt2$ は $x=0,2$ 。旧A094と現行答案、(1)の公式証明・全小問を照合。

この問題で使う考え方

内積による面積公式
直交座標ベクトル
平方完成と単調性

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。