8長崎大学 2016年 数学 第8問解答・解説

(1) $X=\sin\theta$ とおくと $\cos^2\theta=1-X^2$ である。また $$\ell^2=\cos^2\theta+(a\sin\theta-a)^2 =(a^2-1)X^2-2a^2X+a^2+1.$$ したがって $f(X)=(a^2-1)X^2-2a^2X+a^2+1$（$-1\le X\le1$）。

(2) $0<a<1$ なので $f$ は上に凸ではなく下に凸の二次関数であり、頂点の $X$ 座標は $$\displaystyle X_0=\frac{a^2}{a^2-1}=-\frac{a^2}{1-a^2}.$$ $0<a\le1/\sqrt2$ なら $-1\le X_0<0$ で、最大値は頂点で $$\displaystyle f(X_0)=\frac1{1-a^2}.$$ $1/\sqrt2<a<1$ なら $X_0<-1$ で、$f$ は$-1\le X\le1$ の範囲で減少するから最大値は $X=-1$ のときであり、$f(-1)=4a^2$。よって $$\displaystyle \max f(X)=\begin{cases}\dfrac1{1-a^2}&(0<a\le1/\sqrt2),\\[4pt]4a^2&(1/\sqrt2<a<1),\end{cases}\quad X=\begin{cases}-\dfrac{a^2}{1-a^2}&(0<a\le1/\sqrt2),\\[4pt]-1&(1/\sqrt2<a<1). \end{cases}$$

(3) $a=2$ のとき $f(X)=3X^2-8X+5$ で、$f'(X)=6X-8<0$（$-1\le X\le1$）。したがって最大値は $X=-1$ で $f(-1)=16$。このとき $\theta=-\pi/2$ だから $P_1=(0,-2)$。中心 $A=(0,2)$ と $P_1$ の距離は $4$ で、回転させる円板は $$x^2+(y-2)^2\le16$$ である。 $x$ を固定し $s=\sqrt{16-x^2}$ とおくと、この円板の縦断面は $2-s\le y\le2+s$。 $s\ge2$（$|x|\le2\sqrt3$）では断面が $x$ 軸を含むので、回転後の断面は半径 $2+s$ の円板である。$s<2$（$2\sqrt3<|x|\le4$）では断面は $x$ 軸より上にあり、回転後は内半径 $2-s$、外半径 $2+s$ の輪になる。よって $$\displaystyle V=2\pi\left\{\int_0^{2\sqrt3}(2+s)^2\,dx+\int_{2\sqrt3}^{4}\big((2+s)^2-(2-s)^2\big)\,dx\right\} =2\pi\left\{\int_0^{2\sqrt3}(20-x^2+4s)\,dx+\int_{2\sqrt3}^{4}8s\,dx\right\}.$$ $x=4\sin u$ とおけば $$\displaystyle \int_0^t\sqrt{16-x^2}\,dx=\frac t2\sqrt{16-t^2}+8\arcsin\frac t4.$$ これを用いると、2つの積分の和は $\displaystyle 24\sqrt3+\frac{64\pi}{3}$ となる。したがって $$\displaystyle V=48\sqrt3\pi+\frac{128\pi^2}{3}.$$