長崎大学 2016年数学第3問解答・解説

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1問題

長崎大学2016年度第3問

半径1の円に内接する正十二角形 $D$ がある。その面積を $S$ とする。 $D$ の各辺の中点を順に結んで正十二角形 $D_{1}$ をつくる。さらに、 $D_{1}$ の各辺の中点を順に結んで正十二角形 $D_{2}$ をつくる。このように、 $D_{n-1}$ の各辺の中点を順に結んで正十二角形 $D_{n}$ をつくる $n\geq2$ 。 $D_{n}$ の面積を $S_{n}$ とする。以下の問いに答えよ。

(1) $S$ と $S_{1}$ を求めよ。

(2) $S_{n}$ を $n$ の式で表せ $(n\geq1)$ 。

(3) $\displaystyle S_{n}\leq\frac{1}{2}S$ となる最小の整数 $n$ を求めよ。ただし、 $1.89<\log_{2}(2+\sqrt{3})<1.9$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\quad S=3\quad$ 、 $\quad S_1=3(2+\sqrt3)/4\quad$ 。 (2) $\quad S_n=3((2+\sqrt3)/4)^n\quad$ （ $\quad n\ge1\quad$ ）。 (3) 最小の $\quad n\quad$ は $\quad 10\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(1)}\quad &S=12\cdot\frac12\sin\frac\pi6=3,\\&S_1=3\cos^2\frac\pi{12}=3\frac{1+\cos(\pi/6)}2=\frac{3(2+\sqrt3)}4.\\[2pt]\text{(2)}\quad &q=\cos^2\frac\pi{12}=\frac{2+\sqrt3}{4},\\&S_n=3q^n=3\left(\frac{2+\sqrt3}{4}\right)^n\quad(n\ge1).\\[2pt]\text{(3)}\quad &-0.11<\log_2q=\log_2(2+\sqrt3)-2<-0.1,\\&9\log_2q>-0.99>-1,\quad10\log_2q<-1,\\&q^9>\frac12,\quad q^{10}<\frac12,\quad\therefore n_{\min}=10.\end{aligned}$

正十二角形の辺中点を結んだ図形も正十二角形で、その外接半径は前段階の半径に $\cos(\pi/12)$ を掛けた値となる。面積比は毎回 $q=\cos^2(\pi/12)$ で一定。与えられた対数の評価は $\log_2q$ が $-0.11$ と $-0.1$ の間にあることを示すため、9回後はまだ面積が半分を超え、10回後には半分未満となる。

この問題で使う考え方

正多角形の扇形・三角形分割
アポセムによる相似比
等比数列と対数不等式

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