5岐阜大学 2022年 数学 第5問解答・解説

（1）合成関数の微分法より$$\displaystyle g'(t)=\frac12(1-t^2)^{-1/2}(-2t)=-\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\quad(0<t<1).$$この式は右端からの微分係数としても$t=0$で$g'(0)=0$を与える。

（2）$\displaystyle 0<a\le\frac12$のとき、$0\le x\le1$で$$f'(x)=2ax-1\le2a-1\le0.$$したがって$f$は減少し、端点で$$f(0)=1-a,\qquad f(1)=0.$$よって最大値は$1-a$（$x=0$）、最小値は$0$（$x=1$）である。

（3）$\displaystyle a>\frac12$では頂点の横座標$\displaystyle x_0=\frac1{2a}$が$0<x_0<1$なので、上に開く放物線$f$はここで最小となる。平方完成すると$$\displaystyle f(x)=a\left(x-\frac1{2a}\right)^2+1-a-\frac1{4a}=a\left(x-\frac1{2a}\right)^2-\frac{(2a-1)^2}{4a}.$$したがって最小値は$\displaystyle -\frac{(2a-1)^2}{4a}$（$\displaystyle x=\frac1{2a}$）。最大値は端点値$f(0)=1-a$、$f(1)=0$の大きい方である。よって$\displaystyle \frac12<a<1$では$1-a$（$x=0$）、$a=1$では$0$（$x=0,1$）、$a>1$では$0$（$x=1$）。

（4）$\displaystyle 0<a\le\frac12$では（2）より$f(x)\ge0$なので、$|f|$の最大値は$1-a$（$x=0$）。$\displaystyle a>\frac12$では、（3）の最小値を$-K$とおくと$\displaystyle K=\frac{(2a-1)^2}{4a}>0$である。$\displaystyle \frac12<a<1$では端点値は$f(0)=1-a>0, f(1)=0$だから、$\displaystyle \max|f|=\max\{K,1-a\}$。一方$a\ge1$では$|f(0)|=a-1, |f(1)|=0$であり、 $$\displaystyle K-(a-1)=\frac{(2a-1)^2}{4a}-(a-1)=\frac1{4a}>0$$ なので、頂点での$K$が両端点での絶対値より大きい。 $\displaystyle \frac12<a<1$で$\displaystyle K-(1-a)=\frac{8a^2-8a+1}{4a}$。この範囲にある零点は$\displaystyle \alpha=\frac{2+\sqrt2}{4}$であり、$a<\alpha$なら$K<1-a$、$a=\alpha$なら等しく、$a>\alpha$なら$K>1-a$となる（もう一つの零点$\displaystyle \frac{2-\sqrt2}{4}$はこの範囲にない）。したがって、$0<a<\alpha$では最大値$1-a$を$x=0$でとる。$a=\alpha$では最大値$\displaystyle 1-\alpha=\frac{2-\sqrt2}{4}$を$x=0$および頂点$\displaystyle x=\frac1{2\alpha}=2-\sqrt2$でとる。$a>\alpha$では最大値$\displaystyle K=\frac{(2a-1)^2}{4a}$を頂点$\displaystyle x=\frac1{2a}$でとる。