2岐阜大学 2022年 数学 第2問解答・解説

不良品である事象を $D$，検査で不良品と判定される事象を $T$ とする。検査では $\displaystyle P(T\mid D)=\frac{9}{10}$，$\displaystyle P(T\mid D^c)=\frac{1}{10}$ であり，したがって $\displaystyle P(T^c\mid D)=\frac{1}{10}$，$\displaystyle P(T^c\mid D^c)=\frac{9}{10}$ である。

(1) 工場別の生産割合で場合分けすると $$\displaystyle P(D)=\frac35\cdot\frac1{20}+\frac25\cdot\frac1{10}=\frac3{100}+\frac4{100}=\boxed{\frac7{100}}.$$

(2) 工場 A では $\displaystyle P(D\mid A)=\frac1{20}$，$\displaystyle P(D^c\mid A)=\frac{19}{20}$ なので，検査で不良品と判定される確率は $$\displaystyle P(T\mid A)=\frac1{20}\cdot\frac9{10}+\frac{19}{20}\cdot\frac1{10}=\frac9{200}+\frac{19}{200}=\boxed{\frac7{50}}.$$

(3) 求める確率は条件付き確率より $$\displaystyle P(D\mid T,A)=\frac{P(D\cap T\mid A)}{P(T\mid A)}=\frac{\frac1{20}\cdot\frac9{10}}{\frac7{50}}=\frac{9/200}{28/200}=\boxed{\frac9{28}}.$$

(4) 出荷されるのは検査で不良品と判定されなかった製品，すなわち $T^c$ の場合である。したがって $$\displaystyle P(D\mid T^c,A)=\frac{P(D\cap T^c\mid A)}{P(T^c\mid A)} =\frac{\frac1{20}\cdot\frac1{10}}{\frac1{20}\cdot\frac1{10}+\frac{19}{20}\cdot\frac9{10}} =\frac{1/200}{172/200}=\boxed{\frac1{172}}.$$