岐阜大学 2022年数学第1問解答・解説

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1問題

岐阜大学2022年度第1問

$a > 0$ とする。空間内の5点A $(a,0,0)$ ，B $(0,a,0)$ ，C $(-a,0,0)$ ，D $(0,-a,0)$ ，E $(0,0,2a)$ を頂点とする正四角錐を考える。3辺EB，EC，ED上に $\overrightarrow{\mathrm{EF}} = t\overrightarrow{\mathrm{EB}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{EG}} = s\overrightarrow{\mathrm{EC}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{EH}} = t\overrightarrow{\mathrm{ED}}$ となる3点F，G，Hをとる。ただし， $0 < s \leq 1$ ， $0 < t \leq 1$ とする。線分AGと線分FHは交点Iをもつとする。以下の問に答えよ。

(1) I の座標を a と t で表せ。

(2) t を s で表せ。

(3) BI ⊥ DI のとき, s の値を求めよ。

(4) BI ⊥ DI とする。∠BGD = θ とするとき, cos θ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $I=(0,0,2a(1-t))$ ; (2) $\displaystyle t=\frac{2s}{1+s}$ ; (3) $\displaystyle s=\frac13$ ; (4) $\displaystyle \cos\theta=\frac4{13}$ .

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1)(2) 点は $F=(0,at,2a(1-t)),\quad G=(-as,0,2a(1-s)),\quad H=(0,-at,2a(1-t)).$ $FH$ 上は $x=0,\ z=2a(1-t)$ 。一方、 $AG:\ A+u(G-A)=(a(1-u(1+s)),0,2au(1-s))\quad(0\le u\le1).$ $x=0$ より $u=1/(1+s)$ で、これは線分内である。このとき $y=0$ は $FH$ の範囲 $-at\le y\le at$ を満たす。よって $\displaystyle I=(0,0,2a(1-t))=\left(0,0,\frac{2a(1-s)}{1+s}\right), \qquad t=\frac{2s}{1+s}.$

(3) $\overrightarrow{BI}=(0,-a,2a(1-t))$ 、 $\overrightarrow{DI}=(0,a,2a(1-t))$ 。直交条件は $\overrightarrow{BI}\cdot\overrightarrow{DI}=-a^2+4a^2(1-t)^2=0.$ $a>0$ 、 $0<t\le1$ より $t=1/2$ 。これを $t=2s/(1+s)$ に代入すると $s=1/3$ 。

(4) $s=1/3$ では $G=(-a/3,0,4a/3),\quad \overrightarrow{GB}=(a/3,a,-4a/3),\quad \overrightarrow{GD}=(a/3,-a,-4a/3).$ 内積は $8a^2/9$ 、両ベクトルの長さの二乗は $26a^2/9$ 。従って $\cos\theta=(8/9)/(26/9)=4/13$ 。

この問題で使う考え方

位置ベクトルの媒介変数表示
線分の交点
内積による直交・角度

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