2名古屋市立大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$T=a+b+c$、$\vec{u}=\overrightarrow{OA}$、$\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ とおく。三角形の内接円の半径を $r$ とすると、$I$ から各辺への距離はすべて $r$ である。$\overrightarrow{OI}=x\vec{u}+y\vec{v}$ とおけば、同じ底辺に対する高さの比から $x=[OIB]/[OAB]$、$y=[OIA]/[OAB]$ となる。一方、$[OAB]=Tr/2$、$[OIB]=br/2$、$[OIA]=ar/2$ だから、$x=b/T$、$y=a/T$ である。したがって $$\displaystyle \text{(1)}\qquad \overrightarrow{OI}=\frac{b}{T}\vec{u}+\frac{a}{T}\vec{v} =\frac{b}{a+b+c}\overrightarrow{OA}+\frac{a}{a+b+c}\overrightarrow{OB}.$$

次に、$L,M,N$ の位置ベクトルはそれぞれ $\vec{u}/2,\vec{v}/2,(\vec{u}+\vec{v})/2$ である。$P$ は直線 $IN$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OI}+t(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OI}) =\left(\frac bT+t\left(\frac12-\frac bT\right)\right)\vec{u} +\left(\frac aT+t\left(\frac12-\frac aT\right)\right)\vec{v}$$ と表せる。直線 $LM$ 上の点は $\vec{u},\vec{v}$ の係数の和が $1/2$ である。よって 点$P$は直線$LM$上にあるので $$\displaystyle \frac{a+b}{T}+t\left(1-\frac{a+b}{T}\right)=\frac12, \qquad t=\frac{c-a-b}{2c}.$$ これを代入して係数を整理すると $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\left(\frac bT+\frac{(c-a-b)(a-b+c)}{4cT}\right)\vec{u} +\left(\frac aT+\frac{(c-a-b)(b-a+c)}{4cT}\right)\vec{v} =\frac{b+c-a}{4c}\vec{u}+\frac{a+c-b}{4c}\vec{v}.$$

円 $C$ への接線の長さは、同じ点から引けば等しい。$AQ=x$、$BQ=y$、頂点 $O$ からの接線の長さを $z$ とすると、$x+y=c$、$x+z=a$、$y+z=b$ である。したがって $x=(a+c-b)/2$、$y=(b+c-a)/2$。点 $Q$ は辺 $AB$ を $AQ:BQ=x:y$ に内分するので $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{y}{c}\vec{u}+\frac{x}{c}\vec{v} =\frac{b+c-a}{2c}\vec{u}+\frac{a+c-b}{2c}\vec{v}.$$ ゆえに $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac12\overrightarrow{OQ}$。よって $O,P,Q$ は同一直線上にある（実際、$P$ は線分 $OQ$ の中点である）。検算として、$\overrightarrow{OP}$ の係数の和は $1/2$、$\overrightarrow{OQ}$ の係数の和は $1$ であり、上の関係と整合する。