3名古屋市立大学 2022年 数学 第3問解答・解説

表が出た回数を $H$ とすると，10回の移動距離は $2H+(10-H)=10+H$ である。正方形の周の長さは $4$ だから，移動後の位置は $10+H$ を $4$ で割った余りで決まる。

10回のうち表が $k$ 回出る場合の数は $\displaystyle \binom{10}{k}$ であり，全事象は $2^{10}=1024$ 通りである。したがって，$H$ を $4$ で割った余りが $0,1,2,3$ となる場合の数は，それぞれ $$\displaystyle \begin{aligned} H\equiv0&:\binom{10}{0}+\binom{10}{4}+\binom{10}{8}=1+210+45=256,\\ H\equiv1&:\binom{10}{1}+\binom{10}{5}+\binom{10}{9}=10+252+10=272,\\ H\equiv2&:\binom{10}{2}+\binom{10}{6}+\binom{10}{10}=45+210+1=256,\\ H\equiv3&:\binom{10}{3}+\binom{10}{7}=120+120=240. \end{aligned}$$

(1) 点 $P$ は $A$ から時計回りに進むので，頂点は $A,D,C,B$ の順に並ぶ。$H\equiv2,3,0,1\pmod4$ のとき $10+H$ の余りは順に $0,1,2,3$ であるから，それぞれ $A,D,C,B$ に着く。よって，求める順に $$\displaystyle P(A)=\frac{256}{1024}=\frac14,\quad P(B)=\frac{272}{1024}=\frac{17}{64},\quad P(C)=\frac{256}{1024}=\frac14,\quad P(D)=\frac{240}{1024}=\frac{15}{64}.$$

(2) 点 $Q$ は $B$ から反時計回りに進むので，頂点は $B,C,D,A$ の順に並ぶ。同じ余りの数え上げから，$Q$ が $A,B,C,D$ にある確率は順に $17/64,16/64,15/64,16/64$ である。点 $P$ と点 $Q$ の移動に使う硬貨投げは別々の10回であり，両者は独立である。両点が同じ頂点にある確率は $$\displaystyle \frac{16\cdot17+17\cdot16+16\cdot15+15\cdot16}{64^2} =\frac{1024}{4096}=\frac14.$$ したがって異なる頂点にある確率は，余事象を用いて $\displaystyle 1-\frac14=\boxed{\frac34}$ である。なお，(1)の4確率の和は $1$ となり，(2)の同じ頂点・異なる頂点の確率の和も $1$ となる。