横浜市立大学／2023年度／前期

横浜市立大学 2023年数学第II問解答・解説

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1問題

横浜市立大学2023年度第II問

中の見えない箱と十分な枚数の白いカードを用意します。用意した白いカードは書き込みが可能ですが，書き込みの有無や書かれた内容を触って判別することはできないものとします。このとき，以下の各問いに答えなさい。

(1) 新しい白いカードを用意して箱に入れておきます。いま，箱の中からすべての白いカードを取り出し，0と書き込んだカードを $a$ 枚作成します。また，1と書き込んだカードを $b$ 枚，2と書き込んだカードも $c$ 枚作成します。これら数字を書き込んだカードのみを箱の中にすべて戻して，よくかきまぜてから，2枚のカードを箱から取り出したとき，カードに書かれている数の和が3以上になる確率を $a,b,c$ を用いて書き表しなさい。ただし， $a\geq1,\ b\geq1,\ c\geq1$ とします。

(2) 最初に新しい白いカードを用意して箱に入れておきます。いま，箱の中からすべての白いカードを取り出し，0と書いたカードを $d$ 枚作成します。白いままのカードは $e$ 枚です。箱の中にすべてのカードを戻し，よくかきまぜます。次に，投げたときに表と裏の出る確率がそれぞれ等しくなる公平な硬貨を1枚用意します。また，箱の中にあるものとは別に白いカードを用意します。この別途用意したカードは十分な枚数があって，必要なだけ使うことができます。用意した硬貨を投げ，表が出たら，箱の中とは別に用意した白いカード1枚に0と書いて箱の中に入れます。裏が出たら，箱の中とは別に用意した白いカード1枚を取り，なにも書かないで箱に入れます。硬貨を $n$ 回投げたあとに，箱の中からカードを1枚取り出したとき，そのカードに0と書かれている確率を $d,e,n$ を用いて書き表しなさい。

(3) あらためて，新しい白いカードを $x$ 枚用意して空の箱に入れておきます。この箱から $m$ 枚のカードを取り出し，すべてに1と書きます。すべて書き終ったら，すべてのカードを箱に戻し，よくかきまぜてから $n$ 枚のカードを取り出します。この取り出したカード $n$ 枚のうち，ちょうど $k$ 枚に1と書かれている確率を $x,m,n,k$ を用いて書き表しなさい。ただし， $k\leq m\leq x,\ k\leq n\leq x$ とします。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle (1)\quad \frac{\binom{b}{1}\binom{c}{1}+\binom{c}{2}}{\binom{a+b+c}{2}}$
$\displaystyle (2)\quad \frac{d+\frac{n}{2}}{d+e+n}=\frac{2d+n}{2(d+e+n)}$
$\displaystyle (3)\quad \frac{\binom{m}{k}\binom{x-m}{n-k}}{\binom{x}{n}}\quad ($ 範囲外の組合せは 0)

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 2枚の取り出しを順序を区別しない組として数えると、全組数は $\displaystyle \binom{a+b+c}{2}$ である。和が3以上となるのは、1と2のカードを1枚ずつ選ぶ場合、または2のカードを2枚選ぶ場合に限る。したがって、求める確率は $\displaystyle \frac{\binom{b}{1}\binom{c}{1}+\binom{c}{2}}{\binom{a+b+c}{2}}$ である。

(2) 硬貨を $n$ 回投げた後のカード総数は $d+e+n$ 枚である。最初からある $d$ 枚の0のカードが選ばれる確率は $d/(d+e+n)$ 。また、各回に追加されたカードは、箱から最後に選ばれる確率が $1/(d+e+n)$ であり、そのカードに0が書かれている確率は硬貨が表となる $1/2$ である。どのカードが選ばれたかに応じた事象は互いに排反だから、 $\displaystyle \frac{d}{d+e+n}+\sum\limits _{j=1}^{n}\frac{1}{d+e+n}\cdot\frac12=\frac{d+n/2}{d+e+n}=\frac{2d+n}{2(d+e+n)}.$ ただし、カードを1枚取り出せるよう $d+e+n>0$ とする。

(3) 全 $x$ 枚から $n$ 枚を選ぶ方法は $\displaystyle \binom{x}{n}$ 通りである。ちょうど $k$ 枚が1のカードとなるには、1と書かれた $m$ 枚から $k$ 枚を選び、残る $x-m$ 枚から $n-k$ 枚を選べばよい。よって確率は $\displaystyle \frac{\binom{m}{k}\binom{x-m}{n-k}}{\binom{x}{n}}.$ ここで、 $r$ を0以上の整数とするとき、 $s<0$ または $s>r$ なら $\displaystyle \binom{r}{s}=0$ と約束する。この約束により、条件を満たす取り出し方がない場合の確率も0となる。

この問題で使う考え方

和の法則
積の法則
組合せ
独立な試行
確率の基本法則

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