IV横浜市立大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

$(1)$ $f(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ とおく。$0<|x|<1$ で、積分の向きをそろえると $$\displaystyle \frac{S(x)}{x}=\frac1{|x|}\int_{\min(0,x)}^{\max(0,x)}f(t)\,dt.$$ この積分区間では $|t|\le|x|$ なので $$\displaystyle 1\le f(t)\le\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$ 両辺を区間の長さ $|x|$ で割った平均についても同じ不等式が成り立つ。したがって $$\displaystyle 1\le\frac{S(x)}x\le\frac1{\sqrt{1-x^2}}.$$ $x\to0$ のとき左辺・右辺はいずれも1に近づくから、はさみうちにより $$\displaystyle \boxed{\lim\limits _{x\to0}\frac{S(x)}x=1}.$$

$(2)$ 積分で $t=\sin\theta$ と置くと、$0\le t\le1/\sqrt2$ に対応して $0\le\theta\le\pi/4$。この範囲では $\sqrt{1-t^2}=\cos\theta$、$dt=\cos\theta\,d\theta$ だから $$\displaystyle S\left(\frac1{\sqrt2}\right) =\int_0^{\pi/4}\frac{\cos\theta}{\cos\theta}\,d\theta =\boxed{\frac\pi4}.$$

$(3)$ $u=1-t^2$ とおけば $du=-2t\,dt$ なので $$\displaystyle \int\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt =-\frac12\int u^{-1/2}\,du =-\sqrt{u}+C =\boxed{-\sqrt{1-t^2}+C}.$$

$(4)$ $a=1/\sqrt2$ とする。$S'(x)=1/\sqrt{1-x^2}$ なので、部分積分すると $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a S(x)\,dx &=[xS(x)]_0^a-\int_0^a xS'(x)\,dx\\ &=\frac1{\sqrt2}\cdot\frac\pi4-\int_0^{1/\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx. \end{aligned}$$ (3)の積分結果を使うと $$\displaystyle \int_0^{1/\sqrt2}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\left[-\sqrt{1-x^2}\right]_0^{1/\sqrt2} =1-\frac1{\sqrt2}.$$ よって $$\displaystyle \boxed{\int_0^{1/\sqrt2}S(x)\,dx =\frac{1+\pi/4}{\sqrt2}-1}.$$