6長崎大学 2012年 数学 第6問解答・解説

(1) $x=\tan\theta$ とおくと、$dx=\sec^2\theta\,d\theta$、$x^2+1=\sec^2\theta$ である。また、$x=0,\sqrt{3}$ に対応する$\theta$はそれぞれ$0,\pi/3$である。したがって、$$\displaystyle I_1=\int_0^{\pi/3}\frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta=\frac{\pi}{3}.$$

(2) $\displaystyle u=\dfrac{1}{x^2+1},\ dv=dx$ として部分積分すると、$\displaystyle du=-\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}dx,\ v=x$ より、$$\displaystyle I_1=\left[\frac{x}{x^2+1}\right]_0^{\sqrt{3}}+2\int_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx.$$ここで$\displaystyle \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1}{x^2+1}-\dfrac{1}{(x^2+1)^2}$であり、境界項は$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{4}$だから、$$\displaystyle I_1=\frac{\sqrt{3}}{4}+2(I_1-I_2).$$よって$\displaystyle 2I_2=I_1+\dfrac{\sqrt{3}}{4}$である。(1)の値を代入して、$$\displaystyle I_2=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{8}.$$

(3) $t=x+\sqrt{x^2+1}$ とおく。$\sqrt{x^2+1}>|x|$より$t>0$であり、$$\displaystyle \frac{dt}{dx}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{t}{\sqrt{x^2+1}}.$$したがって$\displaystyle \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{dt}{t}$となるから、$$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\int\frac{dt}{t}=\log t+C=\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C.$$

(4) $u=x+\sqrt{x^2+1}$ とおくと、(3)で確認したように$u>0$である。合成関数の微分法により、$$\displaystyle y'=\frac{u'}{u}=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x+\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.$$これはすべての実数$x$で成り立つ。

(5)$\displaystyle f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}$とおくと、$f$は$0\le x\le1$の範囲で連続であり、各正整数$n$について、与式の括弧内は$$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}=\frac{1}{n}\sum\limits _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$と書ける。これは$0\le x\le1$の範囲を$n$等分したときの右端を用いた和なので、$n\to\infty$で$\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx$に収束する。(3)の原始関数を用いると、$$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\left[\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right]_0^1=\log(1+\sqrt{2})-\log 1=\log(1+\sqrt{2}).$$

（1）$x=\tan\theta$の置換でI1を求める。（2）部分積分と分数の分解で$I_1,I_2$の関係を作る。（3）$t=x+\sqrt{x^2+1}$の置換で原始関数を導き、（4）その対数関数を合成関数の微分で微分する。（5）和を連続関数の等分割右端和として定積分へ移し、結果を評価する。