8長崎大学 2012年 数学 第8問解答・解説

(1) $a=\log_{10}2$, $b=\log_{10}3$ とおけば $0<a<b$ である。常用対数をとり、 $$u=ax+by,\qquad v=bx+ay$$ とすると、条件は $10<u<11$, $9<v<10$ となる。境界の二組の直線はそれぞれ平行であり、両組の傾き $-a/b$ と $-b/a$ は異なる。また連立式の和と差から $$\displaystyle x=\frac12\left(\frac{u+v}{a+b}-\frac{u-v}{b-a}\right),\qquad y=\frac12\left(\frac{u+v}{a+b}+\frac{u-v}{b-a}\right)$$ と一意に解けるので、二組の間の共通部分は空でない。従って領域は四つの境界直線に囲まれた平行四辺形の内部であり、境界を含まない。

(2) 和と差をとると $$\displaystyle x+y=\frac{u+v}{a+b},\qquad y-x=\frac{u-v}{b-a}.$$ $19<u+v<21$, $0<u-v<2$ だから、求める範囲は $$\displaystyle \frac{19}{\log_{10}6}<x+y<\frac{21}{\log_{10}6},\qquad 0<y-x<\frac2{\log_{10}(3/2)}.$$ 範囲内の値が全てとれることも確認する。$0<t<1$ として $u=10+t,v=9+t$ と選べば $u+v=19+2t$ が全範囲を動く。また $u=10+t,v=10-t$ とすれば $u-v=2t$ が全範囲を動く。いずれも(1)の連立式から実数 $x,y$ が求まるので、上の範囲は必要十分である。

(3) $d=y-x$ とおく。整数 $x,y$ なら $d$ は整数であり、(2)より $$\displaystyle 0<d<\frac2{0.1761}<12.$$ 従って $d\leq11$。$d=11$ と仮定して $y=x+11$ を代入すると $$10<0.7781x+5.2481<11,\qquad 9<0.7781x+3.3110<10.$$ 第1式の整数解は $x=7$ のみ、第2式は $x=8$ のみであり、同時には満たせない。実際 $0.7781\cdot6=4.6686$, $0.7781\cdot7=5.4467$, $0.7781\cdot8=6.2248$, $0.7781\cdot9=7.0029$ をそれぞれ境界と比較できる。よって $d\leq10$。

$d=10$ の場合は $$10<0.7781x+4.7710<11,\qquad9<0.7781x+3.0100<10.$$ 第1式は整数 $x=7,8$、第2式は $x=8$ だけを許す。従って $x=8,y=18$ が唯一の最大化する組である。このとき両対数は $10.9958$, $9.2348$ で元の開区間に入り、最大値 $d=10$ は実現する。