7長崎大学 2012年 数学 第7問解答・解説

円 $C$ 上の接点を $M=(a,b)$ とすると $a^2+b^2=1$。その点での接線は $$ax+by=1.$$ 外部点 $P=(t,2)$ からの接点M,Nはともに $at+2b=1$ を満たすから、弦MNの方程式は $$tx+2y=1.$$ $OP=\sqrt{t^2+4}>1$ なので接点は異なり、この直線は弦MNそのものである。直線OP上の点を $(x,y)=(st,2s)$ とおくと、MNとの交点は $$\displaystyle s(t^2+4)=1, \qquad s=\frac1{t^2+4}.$$ したがって $$\displaystyle Q=\left(\frac{t}{t^2+4},\frac2{t^2+4}\right).$$

(2) $Q=(x,y)$ とおくと $$\displaystyle 2(x^2+y^2)=\frac2{t^2+4}=y,$$ よって $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac14\right)^2=\frac1{16}.$$ また $y=2/(t^2+4)>0$ なので原点は軌跡に含まれない。

逆に、この円上の原点以外の点 $(x,y)$ では $y>0$ であり、円の式から $x^2+y^2=y/2$。$t=2x/y$ とおけば $$\displaystyle t^2+4=\frac{4(x^2+y^2)}{y^2}=\frac2y,$$ したがって $t/(t^2+4)=x$、$2/(t^2+4)=y$。ゆえに原点以外の円周上のすべての点が実現し、求める軌跡は円周から原点を除いた部分である。

単位円の接線条件から2接点を通る弦MNを求め、OPとの交点を計算した。Qの座標から円の式を導き、逆に円周上の原点以外の点をパラメータtで実現できることも示した。