3北海道大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) 単位円上の接点 $T=(u,v)$ における接線は $ux+vy=1$ である。接点 $A,B$ はともに $P=(a,b)$ から引いた接線上にあるので、弦 $AB$ の直線は $ax+by=1$。円の中心から弦の中点に引いた線分は弦に垂直だから、$Q$ はベクトル $(a,b)$ に平行であり、$Q=(\lambda a,\lambda b)$ とおける。これを弦の式に代入すると $\lambda(a^2+b^2)=1$。したがって $$\displaystyle Q=\left(\frac{a}{a^2+b^2},\frac{b}{a^2+b^2}\right).$$

(2) $S=a^2+b^2$ とおく。$(a-3)^2+b^2=1$ より $S=6a-8$。(1)の $Q=(x,y)$ について $x=a/S,\ y=b/S$ だから $x^2+y^2=1/S$。また $a=x/S=x(x^2+y^2)^{-1}$ なので、関係式を整理すると $$8(x^2+y^2)-6x+1=0,$$ すなわち $$\displaystyle \left(x-\frac38\right)^2+y^2=\frac1{64}.$$ 逆にこの円上では $s=x^2+y^2$ が $1/4\le\sqrt{s}\le1/2$ を満たすので $s>0$。$a=x/s,\ b=y/s$ とおけば上の式から $(a-3)^2+b^2=1$ が得られる。また $\sqrt{a^2+b^2}=1/\sqrt{s}\ge2>1$ なのでPは単位円の外にあり、2接線が引ける。従って円周全体が軌跡である。