1北海道大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1) $a+b\omega=c+d\omega$ とすると、 $(a-c)+(b-d)\omega=0$ である。実部と虚部を比較して $$\displaystyle a-c-\frac{b-d}{2}=0,\qquad \frac{\sqrt{3}}{2}(b-d)=0.$$ したがって $b=d$ であり、これを実部の式に代入すると $a=c$ である。

(2) $\displaystyle \omega^2=\frac{(-1+\sqrt{3}i)^2}{4}=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}=-1-\omega$ であるから、 $$\omega(x+y\omega)=x\omega+y\omega^2=-y+(x-y)\omega.$$

(1)の一意性より $s=-y, t=x-y$ である。よって $$\displaystyle \binom{s}{t}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}\binom{x}{y},\qquad A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}.$$

(3) (2)より、 $A$ は複素数 $x+y\omega$ に $\omega$ を掛ける変換を表す。したがって $$\displaystyle A\binom{x}{y}=\binom{-y}{x-y},\qquad A^2\binom{x}{y}=A\binom{-y}{x-y}=\binom{-x+y}{-x},$$ ゆえに $A^2=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$ である。よって $$\displaystyle (A^2+E)\binom{x}{y}=\binom{y}{-x+y}.$$ 対応する複素数は $y+(-x+y)\omega=-\omega(x+y\omega)$ だから、 $A^2+E$ は $x+y\omega$ に $-\omega$ を掛ける変換を表す。 $\omega^3=1$ より $(-\omega)^{3n}=(-1)^n$ であるから、 $(A^2+E)^{3n}$ は各ベクトルを $(-1)^n$ 倍する。したがって $$(A^2+E)^{3n}=(-1)^nE.$$ 成分で検算すると $A^2=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&0\end{pmatrix}$、$A^2+E=-A$、$A^3=E$。従って $(-A)^{3n}=(-1)^{3n}E=(-1)^nE$ とも確認できる。