4三重大学 2003年 数学 第4問解答・解説

大問4（訂正版） $$X=\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix},\quad \widetilde X=\begin{pmatrix}w&-y\\-z&x\end{pmatrix},\quad \Delta(X)=xw-yz$$ とする。

(1) 成分を掛け合わせると $$\widetilde XX=X\widetilde X=(xw-yz)E=\Delta(X)E.$$ また、$\widetilde X$ の各成分は $X$ の成分に線形なので $$\widetilde{A+B}=\widetilde A+\widetilde B.$$

(2) $A+B$ は逆行列をもち、(1) から $$\displaystyle (A+B)^{-1}=\frac{\widetilde{A+B}}{\Delta(A+B)}.$$ 従って $$\begin{aligned} \Delta(A+B)A(A+B)^{-1}B &=A\widetilde{A+B}B\\ &=A\widetilde A B+A\widetilde B B\\ &=\Delta(A)B+\Delta(B)A. \end{aligned}$$

(3) $$S=A+B=\begin{pmatrix}a-7&-a-11\\1&4\end{pmatrix},\qquad \Delta(S)=5a-17.$$ よって $S$ が逆行列をもつ条件は $a\ne17/5$ である。また $\Delta(A)=\Delta(B)=-1$ なので (2) より、$M=A(A+B)^{-1}B$ とおくと $$\displaystyle (5a-17)M=-S, \qquad C=M^2=\frac{S^2}{(5a-17)^2}.$$ ここで直接計算すると $$S^2=\begin{pmatrix} a^2-15a+38&-a^2-8a+33\\ a-3&5-a \end{pmatrix}.$$ $C$ が単位行列の実数倍となるには、特に $S^2$ の左下成分が 0 でなければならないから $a-3=0$、すなわち $a=3$ が必要である。この値は逆行列をもつ条件を満たし、そのとき $$S^2=2E,\qquad (5a-17)^2=4,$$ より $$\displaystyle \boxed{a=3,\qquad C=\frac12E}.$$