3三重大学 2003年 数学 第3問解答・解説

解説

円の中心を $(x,y)$ とすれば、直線への接線半径は $|x+2|$ です。円 $S$ では中心が直線の右側にあることが円への外接条件から確定し、半径が $x+2$、原点からの距離が $\text{半径}+1$となります。円 $T$ では円 $C$ が内側にあるため、原点からの距離は $\text{半径}-1$です。各距離条件を平方して放物線を得て、半径が正になる範囲も合わせて軌跡を確定します。

共通接点 $z$ と二円の中心は一直線上に並びます。外接の場合、$S$ の中心は $z$ の方向にあり、中心距離と接線半径の関係から係数が $3/(1-\cos\theta)$ です。内接の場合、$T$ の中心は反対方向にあり、その係数は $-1/(1+\cos\theta)$ です。

距離関数を $c=\cos\theta$ の関数として微分すると、臨界値は $c=-2+\sqrt3$ です。$c$ は $\theta$ の増加に伴って減少し、距離は両端で発散するので、この臨界点が唯一の最小点です。

原本は固定PDF `1a/2003/m1a033.pdf` p.3で確認し、同じ設問を固定OCR本文と照合しました。凍結run manifestと親提示input hash、およびPDF/OCR hashは一致しています。条件不足はありません。独立V前の作者答案です。

検算補足：中心軌跡の反対側（$x<-2$）では、中心距離が接線半径より大きくなり、Sの外接条件・Tの内接条件を満たせません。共通接点での内接は小円中心から接点を通って外へ延びる半径上で起こるため、Tの中心はzと反対向きです。検算初稿でこの向きを誤ったため再導出して訂正し、採用判定には訂正後の式を使用しました。