III慶應義塾大学 2003年 数学 第III問解答・解説

曲線 $r=|\sin2\theta|$ 上では $r>0$ のとき $$|2xy|=2r^2|\sin\theta\cos\theta|=r^2|\sin2\theta|=r^3,$$ 従って直交座標では $$(x^2+y^2)^3=4x^2y^2.$$

(1) $s=\cos^2\theta$ とおくと $x^2=4s^2(1-s)$。$0\le s\le1$ で最大となるのは $s=2/3$、そのとき $x^2=16/27$。よって $\displaystyle x_{\max}=4/(3\sqrt3)$。また $\cos^2\theta=2/3$、$\sin^2\theta=1/3$ から $$\displaystyle (x,y)=\left(\frac4{3\sqrt3},\ \pm\frac{2\sqrt6}{9}\right).$$

(2) $m=dy/dx$ とする。$xy>0$ では $2xy=(x^2+y^2)^{3/2}$ なので、両辺を $x$ で微分すると $$2(y+xm)=3r(x+ym).$$ $m=1$ を代入すると $(x+y)(2-3r)=0$。$xy>0$ なら $x+y\ne0$ より $r=2/3$。このとき $\tan\theta>0$ かつ $r=\sin2\theta=2\tan\theta/(1+\tan^2\theta)$ だから $$\displaystyle \tan^2\theta-3\tan\theta+1=0,\qquad \tan\theta=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.$$ $xy<0$ では $2xy=-(x^2+y^2)^{3/2}$ となり、同様に $m=1$ を代入すると $(x+y)(2+3r)=0$。$r>0$ から $x+y=0$、従って $\tan\theta=-1$。これらを微分式に代入すると傾きはいずれも実際に $1$ となる。

(3) $r$ の最大値 $1$ は第一象限で $\theta=\pi/4$ のときに達するので $P=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)$。$x_1=1/\sqrt2>0$ となる点では $\cos\theta>0$。$q=\tan\theta$ とおくと $$\displaystyle x_1=\frac{2|q|}{(1+q^2)^{3/2}}.$$ $s=q^2$ として $x_1=1/\sqrt2$ を代入すると $$(1+s)^3=8s,\qquad (s-1)(s^2+4s-1)=0.$$ 正の解は $s=1,\sqrt5-2$。$s=1$ の第一象限の点 $P$ を除くと、$Q$ の偏角について $$\tan\theta=-1,\qquad \tan\theta=\pm\sqrt{\sqrt5-2}.$$

(4) $X=4/(3\sqrt3)$、$Y=2\sqrt6/9$ とおく。$x$ の最大点は $(X,\pm Y)$、最小点は $(-X,\pm Y)$、$y$ の最大点は $(\pm Y,X)$、最小点は $(\pm Y,-X)$。曲線は原点で交わる四つの花弁からなる。 直線との交点を第一象限で求める。$z=\sin\theta+\cos\theta$ とおくと $r=\sin2\theta=z^2-1$、従って $x+y=z^3-z$。方程式 $z^3-z=(3+\sqrt3)/4$ の解は $z=(1+\sqrt3)/2$ であり、$\{\sin\theta,\cos\theta\}=\{1/2,\sqrt3/2\}$。交点は $$\displaystyle \left(\frac34,\frac{\sqrt3}{4}\right),\qquad \left(\frac{\sqrt3}{4},\frac34\right).$$ 第二・第四象限では $|x+y|\le1$、第三象限では $x+y<0$ なので、他の交点はない。

(5) $c=(3+\sqrt3)/4$ とおく。第一象限では曲線境界は $r=\sin2\theta$、直線の条件は $r\le c/(\sin\theta+\cos\theta)$。境界の交点角は $\pi/6$ と $\pi/3$ であり、その間は直線が内側、外側では曲線が内側となる。極座標の面積公式より $$\displaystyle A=\frac12\left( 2\int_0^{\pi/6}\sin^2(2\theta)\,d\theta+ c^2\int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{d\theta}{(\sin\theta+\cos\theta)^2} \right).$$ ここで $$\displaystyle \int_0^{\pi/6}\sin^2(2\theta)\,d\theta=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{16},\qquad \int_{\pi/6}^{\pi/3}\frac{d\theta}{(\sin\theta+\cos\theta)^2} =\tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3,$$ かつ $c^2(2-\sqrt3)=3/8$。よって $$\displaystyle A=\frac{\pi}{12}+\frac{3-\sqrt3}{16}.$$

直交座標では曲線は $(x^2+y^2)^3=4x^2y^2$ を満たし、原点で交わる四つの花弁となる。最大・最小座標と接線条件は $x^2=4\cos^4\theta\sin^2\theta$ および暗黙微分から求める。直線は第一象限の花弁と $(3/4,\sqrt3/4)$、$(\sqrt3/4,3/4)$ で交わる。面積は交点角 $\pi/6$、$\pi/3$ で極座標積分を分けると $\pi/12+(3-\sqrt3)/16$。