II慶應義塾大学 2003年 数学 第II問解答・解説

状態の整理 球が2個残る場合だけを考える。偶数回後の位置は$A=(-1,1)$のみ，奇数回後は$B=(-2,0),C=(-2,2),D=(0,2)$のみである。初めは$A$。$A$からは$B,C,D$へそれぞれ確率$1/4$，残る$1/4$で衝突して消える。$B,C,D$のそれぞれから$A$へ戻る確率は$1/4$である。 (1) 従って$P_1=3/4$。 (2) $P_2=3(1/4)^2=3/16$。$B,D$では次に1個だけ残る確率が各$1/2$，$C$でも$1/2$なので，2回後1個の確率は$3\cdot(1/4)(1/2)=3/8$。2回目の衝突は$B,D$の各状態から確率$1/4$で生じるため$2(1/4)^2=1/8$。 (3) 2回の操作で2球とも生き残り$A$に戻る確率は$q=3/16$。従って$$\displaystyle P_{2m}=q^m,\qquad P_{2m-1}=\tfrac34q^{m-1}.$$ (4) 1球になった後に衝突は起きない。$2j+1$回目の初衝突確率は$q^j/4$，$2j+2$回目は$q^j/8$。これらは互いに排反だから，$n=2m$の場合の累積確率は $$\displaystyle \sum\limits _{j=0}^{m-1}(\tfrac14+\tfrac18)q^j=\frac6{13}(1-q^m).$$ $n=2m-1$なら$2m-2$回目までの値に$q^{m-1}/4$を加えて $$\displaystyle \frac6{13}(1-q^{m-1})+\frac14q^{m-1}=\frac6{13}-\frac{11}{52}q^{m-1}.$$