I慶應義塾大学 2003年 数学 第I問解答・解説

焦点が $(-1,0),(1,0)$ なので、楕円と双曲線の標準形から $$a^2-b^2=1,\qquad c^2+d^2=1.$$ 従って $a=\sqrt{1+b^2}$、$c=\sqrt{1-d^2}$。

点 $P(u,v)$ が両方の曲線上にあるため $$\displaystyle \frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1,\qquad \frac{u^2}{c^2}-\frac{v^2}{d^2}=1.$$ ここで $U=u^2,V=v^2$ とおき、$a^2=1+b^2,\ c^2=1-d^2$ を代入して連立すると $$U=(1+b^2)(1-d^2)=a^2c^2,\qquad V=b^2d^2.$$ $u,v>0$ より $u=ac,\ v=bd$。したがって $\text{あ}=\sqrt{1-d^2},\ \text{い}=bd$。

楕円を暗黙微分すると接線の傾きは $k_1=-b^2u/(a^2v)$、双曲線では $k_2=d^2u/(c^2v)$。$u=ac,v=bd$ を代入すれば $$\displaystyle k_2=\frac{ad}{bc},\qquad k_1=-\frac{bc}{ad},\qquad k_1k_2=-1.$$ よって $\text{う}=ad/(bc),\ \text{え}=-1$。

(2) では $u=r\cos\theta,\ v=r\sin\theta$ とおく。$B=b^2$ とすると楕円の式は $$\displaystyle r^2\frac{\cos^2\theta}{B+1}+r^2\frac{\sin^2\theta}{B}=1.$$ $\theta\to+0$ で $v\to0,\ u\to r$ だから $B(0)=r^2-1$、従って $b(0)=\sqrt{r^2-1}$。

さらに $s=\sin^2\theta$ とおき $$\displaystyle F(B,s)=r^2\left(\frac{1-s}{B+1}+\frac{s}{B}\right)-1=0$$ を陰関数として微分する。$(B,s)=(r^2-1,0)$ で $$\displaystyle F_s=\frac1{r^2-1},\qquad F_B=-\frac1{r^2}.$$ よって $dB/ds=-F_s/F_B=r^2/(r^2-1)$。また $\sin^2\theta/\theta^2\to1$ だから $$\displaystyle \lim\limits _{\theta\to+0}\frac{b(\theta)^2-b(0)^2}{\theta^2} =\frac{r^2}{r^2-1}.$$ ゆえに $\text{お}=\sqrt{r^2-1},\ \text{か}=r^2/(r^2-1)$。

焦点から楕円・双曲線の係数関係を出し、共通点Pの座標を連立方程式で求めます。接線の傾きは陰関数微分で計算します。最後はB=b²と置いた楕円方程式をsin²θの関数として陰関数微分し、θ²で割った極限を求めます。