8千葉大学 2013年 数学 第8問解答・解説

円の中心は $P=(\theta,1)$、半径方向 $\overrightarrow{PQ}$ は $(\sin\theta,\cos\theta)$ だから $$R(\theta)=(\theta+r\sin\theta,\ 1+r\cos\theta).$$ $R(\alpha)=R(\beta)$, $0\le\alpha<\beta\le2\pi$ なら $y$ 座標から $\alpha+\beta=2\pi$。$t=(\beta-\alpha)/2$ とすれば $\alpha=\pi-t,\ \beta=\pi+t,\ 0<t<\pi$。$x$ 座標を等しくすると $2t-2r\sin t=0$、従って $r=t/\sin t$。 座標を平行移動し $u=\theta-\pi$ とおけば軌跡は $(u-r\sin u,-r\cos u)$, $-t\le u\le t$。 $h(s)=\sin s-s\cos s$ とおくと $h(0)=0$、 $h'(s)=s\sin s>0\ (0<s<\pi)$。よって $$\displaystyle \left(\frac{s}{\sin s}\right)'=\frac{h(s)}{\sin^2s}>0.$$ $0<u<t$ なら $u/\sin u<t/\sin t=r$ だから $u-r\sin u<0$。曲線は $y$ 軸対称で、$0\le u\le t$ の高さの断面幅は $-2(u-r\sin u)$、$dy=r\sin u\,du$。従って $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_0^t-2(u-r\sin u)r\sin u\,du\\ &=2rt\cos t-2r\sin t+r^2t-\frac{r^2}{2}\sin2t =t(r^2+r\cos t-2), \end{aligned}$$ ここでは $r\sin t=t$ を用いた。$r=t/\sin t\to\infty$ なら $t\to\pi$ （$t\to0$ では比は1に近づく）。ゆえに $$\displaystyle \frac{S}{r^2}=t+\frac{t\cos t}{r}-\frac{2t}{r^2}\longrightarrow\pi.$$