3福島県立医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

固定円の半径は2、小円の半径は1である。中心が角 $\theta$ 進む間、固定円上の接触弧の長さは $2\theta$。滑らないので、小円の接触半径に対する回転角は $2\theta$、接触半径そのものの向きの変化が $\theta$ だから、初めの半径 $MP$ の回転角は $3\theta$ となる。 (1) 従って $M=(3\cos\theta,3\sin\theta)$ に対し $$P=(3\cos\theta+\cos3\theta,3\sin\theta+\sin3\theta).$$ $PQ$ は直径なので $\overrightarrow{MQ}=-\overrightarrow{MP}$。よって $$\boxed{Q=(3\cos\theta-\cos3\theta,3\sin\theta-\sin3\theta)}.$$ (2) 三倍角公式から $x=f(\theta)=4\cos^3\theta$、$y=g(\theta)=6\sin\theta-4\sin^3\theta$。従って $$f'=-12\sin\theta\cos^2\theta<0,\qquad g'=6\cos\theta\cos2\theta,$$ $$\displaystyle \boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos2\theta}{\sin2\theta}},\qquad \boxed{\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{f'}\frac{2}{\sin^22\theta}=-\frac{1}{24\sin^3\theta\cos^4\theta}}.$$ (3) $x$ は4から0へ単調減少し、$0\le x\le4$ を満たす各 $x$ に $y$ が一意に対応する。$dy/dx$ の符号は $0<x<\sqrt2$ で正、$\sqrt2<x<4$ で負。従って極大は $(\sqrt2,2\sqrt2)$、内部に極小点はない。全区間の最小値は $x=4$ で0。二階導関数が負なので全体で上に凸、変曲点はない。両端の接線は鉛直となる。

(4) $\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta$ は、半角公式より $I=\pi/16$。 $\displaystyle J=\int_0^{\pi/2}\sin^4\theta\cos^2\theta\,d\theta$ とすると、$\theta=\pi/2-t$ の置換で $\displaystyle J=\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin^2t\,dt$。両式を加えれば $2J=I$、よって $J=\pi/32$。面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=-\int_0^{\pi/2}g(\theta)f'(\theta)\,d\theta\\ &=72I-48J=\boxed{3\pi}. \end{aligned}$$