7千葉大学 2004年 数学 第7問解答・解説

(1) $A=(a,0)$、$B=(\cos\theta,\sin\theta)$ とおく。$OB=AB=1$ なので $$(a-\cos\theta)^2+\sin^2\theta=1=\cos^2\theta+\sin^2\theta,$$ よって $a^2-2a\cos\theta=0$。$A\ne O$ では $a>0$ だから $a=2\cos\theta$ である。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{BA}=A-B=(\cos\theta,-\sin\theta),\qquad BP=\frac{OA}{2}=\cos\theta.$$ $AB=1$ なので、$P=B+\cos\theta\,\overrightarrow{BA}$ と表せる。よって $$P=(\cos\theta+\cos^2\theta,\ (1-\cos\theta)\sin\theta).$$

(2) $x(\theta)=\cos\theta+\cos^2\theta$、$y(\theta)=(1-\cos\theta)\sin\theta$ とする。区間 $0\leq\theta\leq\pi/2$ で $x$ は $(2,0)$ から $(0,1)$ に向けて減少し、$y$ は増加する。実際 $$x'=-(1+2\cos\theta)\sin\theta\leq0,$$ また $y'=(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)\geq0$。したがって軌跡と座標軸に囲まれた面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=-\int_0^{\pi/2}y(\theta)x'(\theta)\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}(1-\cos\theta)(1+2\cos\theta)\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\,d\theta +\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin^2\theta\,d\theta -2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin^2\theta\,d\theta\\ &=\frac\pi4+\frac13-2\cdot\frac\pi{16} =\frac13+\frac\pi8. \end{aligned}$$ (1)では $A=O$ を除くが、軌跡全体の面積では端点 $(0,1)$ を含めても面積の値は変わらない。