8千葉大学 2004年 数学 第8問解答・解説

一般化二項係数を多項式 $$\displaystyle \binom{x}{j}=\frac{x(x-1)\cdots(x-j+1)}{j!}\quad(j\ge1)$$ で定義し、$\displaystyle Q_n(x)=\sum\limits _{j=1}^n\binom{x}{j}$ とおく。$Q_n$ は第 $n$ 項の最高次係数が $1/n!$ なので $n$ 次多項式である。

整数 $k=0,1,\ldots,n$ では、$j>k$ のとき $\displaystyle \binom{k}{j}=0$ であるから、二項定理より $$\displaystyle Q_n(k)=\sum\limits _{j=1}^k\binom{k}{j}=2^k-1.$$ したがって $Q_n$ は問題の指定値をすべて満たす。$P_n-Q_n$ は高々 $n$ 次で、$0,1,\ldots,n$ の $n+1$ 個を根にもつので、因数定理より恒等的に0である。よって $$\displaystyle P_n(x)=Q_n(x)=\sum\limits _{j=1}^n\binom{x}{j}.$$

この式から $$\displaystyle P_1(x)=x,\quad P_2(x)=x+\frac{x(x-1)}2, \quad P_3(x)=P_2(x)+\frac{x(x-1)(x-2)}6.$$ したがって $$\displaystyle P_2(x)-P_1(x)=\frac{x(x-1)}2,\qquad P_3(x)-P_2(x)=\frac{x(x-1)(x-2)}6.$$