4東京大学 2004年 数学 第4問解答・解説

$F(t)=t^3-3t$ とおく。定義から $f_1(x)=F(x),\quad f_{n+1}(x)=F(f_n(x))$ である。 (1) $$F'(t)=3(t-1)(t+1),\qquad F(-1)=2,\quad F(1)=-2.$$ よって Fは$t\le-1$で増加し、$-1\le t\le1$で減少し、$t\ge1$で増加する。したがって $F(x)=a$ の相異なる実数解の個数は、$|a|>2$ で1個、$|a|=2$ で2個、$|a|<2$ で3個である。 (2) $y=f_1(x)$ とおくと $f_2(x)=a$ は $F(y)=a$ と同値である。$|a|<2$ なら $F(y)=a$の3解はすべて$-2<y<2$を満たし、各 y に対して $F(x)=y$ は3解をもつので計9個。$|a|>2$ なら $F(y)=a$ の解は $|y|>2$ に1個だけで、その y に対する $F(x)=y$ の解は1個だから計1個。$a=2$ では $F(y)-2=(y-2)(y+1)^2$ より $y=2,-1$。$F(x)=2$ は2解、$F(x)=-1$ は3解なので計5個。同様に $a=-2$ では $F(y)+2=(y+2)(y-1)^2$ より $y=-2,1$ で、対応する解数は2+3=5個。 (3) $-2<b<2$ とする。$F(-2)=-2,F(-1)=2,F(1)=-2,F(2)=2$ と F の各区間での単調性から、$F(t)=b$の3解はそれぞれ$-2<t<-1,\quad -1<t<1,\quad 1<t<2$に1つずつあり、すべて$-2<t<2$を満たす。$n=2$ では(2)より$-2<b<2$を満たすすべてのbに対し $f_2(x)=b$ の解は$9=3^2$個。ある $n\ge2$ で$-2<c<2$を満たすすべてのcに対し $f_n(x)=c$ の解が$3^n$個とする。$F(t)=b$ の3解を $t_1,t_2,t_3$ とすると、各$t_i$は$-2<t_i<2$を満たし、$f_{n+1}(x)=b$ の解は互いに交わらない3集合 $f_n(x)=t_i$ の和である。ゆえに解数は$3\cdot3^n=3^{n+1}$。帰納法により$n\ge2$であるすべての整数nと、$-2<b<2$を満たすすべてのbについてこの解数は$3^n$である。特に $b=0$ とすれば、求める $n\ge3$ に対して$3^n$個である。