5東京大学 2004年 数学 第5問解答・解説

(1) 中心を結ぶ線を $x$ 軸とする。$0<r<2$ のとき、二球の共通部分は、平面 $x=r/2$ で切った二つの等しい球冠からなる。球冠の高さを $h=1-r/2$ とすると、その体積は断面積を積分して $$\displaystyle \pi\int_{1-h}^{1}(1-x^2)\,dx=\pi h^2\left(1-\frac h3\right)$$ である。従って共通部分の体積 $W$ は $$\displaystyle W=2\pi\int_{r/2}^{1}(1-x^2)\,dx=\frac{4\pi}{3}-\pi r+\frac{\pi r^3}{12}.$$ 二球の体積の和から $W$ を引けば $$\displaystyle V(r)=\frac{8\pi}{3}-W=\frac{\pi}{12}(16+12r-r^3)\qquad(0<r<2).$$ $r=2$ では二球は一点で接し、$r>2$ では重ならないので、いずれも $$\displaystyle V(r)=\frac{8\pi}{3}\qquad(r\ge2).$$ したがって $$\displaystyle \boxed{V(r)=\begin{cases}\dfrac{\pi}{12}(16+12r-r^3),&0<r<2,\\[2pt]\dfrac{8\pi}{3},&r\ge2.\end{cases}}$$ （$r=2$ では両式が一致する。）$0<r<2$ では $$\displaystyle V'(r)=\frac{\pi}{4}(4-r^2)>0,\qquad V''(r)=-\frac{\pi r}{2}<0.$$ よってグラフは $r\to0+$ で $4\pi/3$ に近づく（$r=0$ は含まない）点から、増加しながら傾きが小さくなって $(2,8\pi/3)$ に達し、その後は水平である。概形図を `illustrations/union-volume-graph.svg` に作成した。

(2) $r\ge2$ では $V=8\pi/3>8$ である。$0<r<2$ で $g(r)=16+12r-r^3$ とおくと $g'(r)=12-3r^2>0$ だから、$V=8$ の解は高々一つであり、方程式は $$\displaystyle g(r)=\frac{96}{\pi}$$ と同値である。指定された円周率の範囲より $$\displaystyle \frac{96}{3.15}<\frac{96}{\pi}<\frac{96}{3.14}.$$ 一方、 $$\displaystyle g(1.45)=30.351375<\frac{96}{3.15},\qquad g(1.55)=30.876125>\frac{96}{3.14}.$$ $g$ はこの区間で増加するので、解は $1.45<r<1.55$ にある。したがって四捨五入して小数第1位まで表すと $$\boxed{r=1.5}.$$