1琉球大学 2014年 数学 第1問解答・解説

問1　 部分積分により $$\displaystyle \int_0^{\pi/4}x\cos 2x\,dx=\left[\frac{x}{2}\sin 2x+\frac14\cos 2x\right]_0^{\pi/4}=\frac{\pi}{8}-\frac14=\frac{\pi-2}{8}.$$ この原始関数を微分すると$x\cos 2x$となるので、計算を確認できる。

問2(1)　 三角形が非退化であるから$BC=2x>0$かつ$2x<AB+AC=2$であり、$0<x<1$である。頂点$A$から辺$BC$に下ろした垂線は$BC$を二等分する。高さを$h$とすると、斜辺が$1$、底辺の半分が$x$の直角三角形より$h=\sqrt{1-x^2}$。したがって$\triangle ABC$の面積は$x\sqrt{1-x^2}$、半周長は$1+x$である。内心から各辺に下ろした垂線の長さはいずれも$r$なので、三つの小三角形の面積を足すと$\triangle ABC$の面積は半周長と$r$の積に等しい。よって $$\displaystyle r=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1+x}=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\qquad(0<x<1).$$

問2(2)　 この範囲では$r>0$なので、$r$を最大にする$x$は$g(x)=r^2$を最大にする$x$と一致する。 $$\displaystyle g(x)=\frac{x^2(1-x)}{1+x},\qquad g'(x)=\frac{(2x-3x^2)(1+x)-(x^2-x^3)}{(1+x)^2}=\frac{2x(1-x-x^2)}{(1+x)^2}.$$ $0<x<1$では分母と$2x$は正であり、$1-x-x^2=0$の解のうちこの範囲にあるものは$\alpha=(\sqrt5-1)/2$だけである。$1-x-x^2$はこの範囲で減少するから、$0<x<\alpha$では$g'(x)>0$、$\alpha<x<1$では$g'(x)<0$。したがって$g$、ひいては$r$は$x=\alpha$で最大となる。 $$\displaystyle \boxed{x=\frac{\sqrt5-1}{2}}$$