3琉球大学 2014年 数学 第3問解答・解説

問1 $$\displaystyle y'=\frac1x,\qquad y''=-\frac1{x^2}\quad(x>0).$$ 問2　三角形はBを直角とし、$AB=1$、$\displaystyle BC=\log(m+1)-\log m=\log\frac{m+1}{m}$ だから $$\displaystyle S_m=\frac12\log\frac{m+1}{m}.$$ 問3　$y''<0$ より、$y=\log x$ は各範囲 $m\le x\le m+1$ で両端を結ぶ弦より上にある。その弦の下の台形の面積は $\displaystyle \frac{\log m+\log(m+1)}2$ であり、従って $$\displaystyle \int_m^{m+1}\log x\,dx>\frac{\log m+\log(m+1)}2=\log m+S_m.$$ よって $f(m)<0$。 問4　この不等式を $m=1,\ldots,n-1$ について加え、比の対数の和で隣り合う項を打ち消し合わせると $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^{n-1}\log m+\frac12\log n-\int_1^n\log x\,dx<0.$$ $\displaystyle \int_1^n\log x\,dx=n\log n-n+1$ より、指定された不等式を得る。 問5　問4に $\log n$ を加えて整理すると $\displaystyle \log(n!)<(n+\frac12)\log n-n+1$。指数関数を取れば $$\displaystyle n!<e\sqrt n\left(\frac ne\right)^n.$$

微分・三角形面積・対数グラフの弦と積分の比較を確認した。問4では比の積で共通の因子が約分されてnとなり、積分は原始関数で正しく計算される。問5は問4からlog(n!)へ移り、指数を取ることで結論が得られる。旧答案の結論・証明は正しい。