4琉球大学 2014年 数学 第4問解答・解説

1回のさいころで景品Aをもらう確率は$\displaystyle \frac{1}{6}$、景品Bをもらう確率は$\displaystyle \frac{1}{3}$、景品をもらわない確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$である。

問1・問2

ちょうど$n$回目でゲームが終了する場合を、最後にAをもらう場合と最後にBをもらう場合に分ける。最後にAをもらうには、前の$n-1$回ではAをもらわず、Bを少なくとも1回もらっている必要がある。前の各回がBまたは景品なしである確率は$\displaystyle \frac{5}{6}$なので、前の$n-1$回がすべてBまたは景品なしである確率から、すべて景品なしである確率を引けばよい。したがって、この場合の確率は $$\displaystyle \frac{1}{6}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}.$$ 同様に、最後にBをもらう場合、前の$n-1$回はAまたは景品なしで、Aを少なくとも1回もらっている。よって、その確率は $$\displaystyle \frac{1}{3}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}.$$ この二つの場合は互いに重ならないから、$n\ge2$に対して $$\displaystyle p_n=\frac{1}{6}\left\{\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}+\frac{1}{3}\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}.$$ これより $$\displaystyle p_2=\frac{1}{6}\left(\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}=\frac{1}{9}.$$ 問3

上の式は$n=1$でも$p_1=0$を与える。$n\ge1$に対し、差を計算すると $$\displaystyle p_{n+1}-p_n=-\frac{1}{36}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}-\frac{1}{9}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.$$ したがって、$n\ge2$では $$\displaystyle \begin{aligned} &(p_{n+1}-p_n)-\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1})\\ &=-\frac{1}{216}\left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}-\frac{1}{24}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}<0. \end{aligned}$$ ここで$\displaystyle \left(\frac{5}{6}\right)^{n-2}>0$、$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}>0$であるから、最後の不等号は厳密に成り立つ。よって $$\displaystyle p_{n+1}-p_n<\frac{2}{3}(p_n-p_{n-1})$$ が示された。