10弘前大学 2012年 数学 第10問解答・解説

各試行は独立で、各カードは等確率で取り出される。整数値をとる確率変数の尾確率を用いると、 $$\displaystyle X=\sum\limits _{j=1}^{n}\mathbf{1}_{\{X\ge j\}},\qquad \mathbb{E}[X]=\sum\limits _{j=1}^{n}P(X\ge j).$$ j=1,$\ldots$,n に対し、X$\le$ j-1 となるのは3回とも j-1 以下の数が出る場合なので、独立性から $$\displaystyle P(X\le j-1)=\left(\frac{j-1}{n}\right)^3,\qquad P(X\ge j)=1-\left(\frac{j-1}{n}\right)^3.$$ したがって、 $$\displaystyle \mathbb{E}[X]=n-\frac{1}{n^3}\sum\limits _{r=0}^{n-1}r^3.$$ 立方和は、各 r について $$\displaystyle r^3=\left(\frac{r(r+1)}{2}\right)^2-\left(\frac{r(r-1)}{2}\right)^2$$ と表せるので、和をとると望遠和となり、 $$\displaystyle \sum\limits _{r=0}^{n-1}r^3=\left(\frac{n(n-1)}{2}\right)^2.$$ これを代入して $$\displaystyle \mathbb{E}[X]=n-\frac{(n-1)^2}{4n}=\frac{3n^2+2n-1}{4n}.$$