5弘前大学 2012年 数学 第5問解答・解説

$f(x)=\{x^2+(2-e)x+1\}e^x$ とおく。積の微分法より $$f'(x)=\{2x+(2-e)+x^2+(2-e)x+1\}e^x =(x+1)(x+3-e)e^x.$$ $2<e<3$ であるから $-1<e-3<0$ であり、$e^x>0$ と合わせると、$f'(x)$ の符号は $x<-1$ で正、$-1<x<e-3$ で負、$x>e-3$ で正となる。したがって $x=-1$ で極大となり、 $$f(-1)=\{1-(2-e)+1\}e^{-1}=1.$$ よって極大値は $b=1$ である。また $f(0)=1$ である。上の増減から $x<-1$ では $f(x)<1$、$-1<x<0$ でも $f(x)<1$、$x>0$ では $f(x)>1$ となるため、 直線 $y=1$ と曲線 $y=f(x)$ の交点は $x=-1,0$ だけであり、囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \int_{-1}^{0}(1-f(x))\,dx$$ である。

部分積分を用いると $$\displaystyle \int xe^x\,dx=e^x(x-1),\qquad \int x^2e^x\,dx=e^x(x^2-2x+2).$$ したがって $$\displaystyle \int f(x)\,dx =e^x(x^2-2x+2)+(2-e)e^x(x-1)+e^x =e^x(x^2-ex+e+1).$$ ゆえに $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-1}^{0}(1-f(x))\,dx &=\left[x-e^x(x^2-ex+e+1)\right]_{-1}^{0}\\ &=-(e+1)-\left(-1-2-\frac{2}{e}\right) =2-e+\frac{2}{e}. \end{aligned}$$