9弘前大学 2012年 数学 第9問解答・解説

$(1)$ $y=ax+b$ を楕円の式に代入する。得られる二次方程式の判別式が0となる条件は $$(18ab)^2-4(4+9a^2)(9b^2-36)=0 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad b^2=9a^2+4.$$ $(2)$ $P=(u,v)$ を楕円の外部にとる。傾き $m$ の接線 $y=mx+c$ は $c^2=4+9m^2$。$P$ を通る条件 $c=v-mu$ より $$(u^2-9)m^2-2uvm+(v^2-4)=0. \tag{1}$$ $u^2\ne9$ のとき二接線の傾き $m_1,m_2$ の積は $$\displaystyle m_1m_2=\frac{v^2-4}{u^2-9}.$$ 方向ベクトル $(1,m_1),(1,m_2)$ が直交する条件は $m_1m_2=-1$、すなわち $u^2+v^2=13$。 $u^2=9$ なら垂直接線 $x=u$ があり、直交する水平接線 $y=v$ が接する条件は $v^2=4$。これも同じ円上である。 逆に $u^2+v^2=13$ なら $4u^2+9v^2=52+5v^2>36$ なので外部点。 $u^2\ne9$ なら (1) の判別式は $4(4u^2+9v^2-36)>0$、異なる二接線の傾きの積は $-1$。 $u^2=9$ なら $v^2=4$ で、垂直接線と水平接線が直交する。 よって軌跡は $x^2+y^2=13$ である。