I慶應義塾大学 2011年 数学 第I問解答・解説

(1) $x^2-4=(x-2)(x+2)$ であるから、因数定理と $2,-2$ が異なることより、$P(x)$ が $x^2-4$ で割り切れる条件は $P(2)=P(-2)=0$ である。$n$ は奇数なので $$P(2)=2^n-4a-2b+2=0,\qquad P(-2)=-2^n-4a+2b+2=0.$$ これらを加えると $8a=4$ となる。また第2式を第1式から引くと $4b=2^{n+1}$ となる。よって $\displaystyle a=\dfrac12$、$b=2^{n-1}$ である。

次に、$P(-1)=P'(-1)=0$ が $(x+1)^2$ で割り切れるための必要十分条件である。実際、$P(-1)=0$ のとき $P(x)=(x+1)Q(x)$ と書け、$P'(-1)=Q(-1)$ だから、さらに $P'(-1)=0$ であることは $Q(x)$ も $x+1$ で割り切れることと同値である。$n$ は奇数であることから $$P(-1)=1-a+b=0,\qquad P'(-1)=n+2a-b=0.$$ 第1式より $b=a-1$、第2式より $b=n+2a$ だから、$a-1=n+2a$。したがって $a=-n-1$、$b=-n-2$ である。

(2) 成分を比較すると $$u\cos\theta=1,\quad -u\sin\theta=1,\quad v\sin\theta=5,\quad v\cos\theta=x.$$ 最初の2式から $\tan\theta=-1$。$0<\theta<\pi$ かつ $\sin\theta>0$ より $\displaystyle \theta=\dfrac{3\pi}{4}$ であり、$\displaystyle \cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt2}$、$\displaystyle \sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt2}$ となる。よって $$u=-\sqrt2,\qquad v=5\sqrt2,\qquad x=v\cos\theta=-5.$$

(3) 平方完成すると $$\displaystyle 2(x+2)^2-(y-1)^2+4=0, \qquad \frac{(y-1)^2}{4}-\frac{(x+2)^2}{2}=1.$$ 中心は $(-2,1)$、実軸は鉛直方向で、$a^2=4$、$b^2=2$ である。したがって頂点は $(-2,1\pm2)$。また $c^2=a^2+b^2=6$ より焦点は $(-2,1\pm\sqrt6)$ である。漸近線は、$X=x+2$、$Y=y-1$ とおいたとき $Y^2/4-X^2/2=0$ から $$\displaystyle y-1=\pm\frac{a}{b}(x+2)=\pm\sqrt2(x+2)$$ となる。よって $y=\sqrt2x+1+2\sqrt2$ および $y=-\sqrt2x+1-2\sqrt2$ である。