3新潟大学 2012年 数学 第3問解答・解説

(1) 放物線 $C:y=x^2$ と直線 $\ell:y=px+q$ の交点の $x$ 座標は $$x^2-px-q=0$$ の解である。接する条件は重解をもつことなので、判別式を $0$ とおいて $$\displaystyle p^2+4q=0,\qquad q=-\frac{p^2}{4}.$$

(2) 放物線 $D:x=y^2+a$ 上の点を $(y^2+a,y)$ と表す。直線 $\ell$ との交点条件は $$py^2-y+(pa+q)=0.$$ $p=0$ の場合、(1)より $q=0$ で、これは $y=0$ という一次方程式となるため接しない（$D$ の頂点における接線は垂直線 $x=a$ である）。よって $p\ne0$。接する条件はこの二次方程式の判別式が $0$ となることだから、 $$1-4p(pa+q)=0.$$ (1)の $q=-p^2/4$ を代入して $$\displaystyle 1-4p^2a+p^3=0,\qquad a=\frac{p^3+1}{4p^2}.$$

(3) 共通接線の傾き $p$ は $$F_a(p)=p^3-4ap^2+1=0$$ を満たす。$p=0$ は解ではなく、異なる傾きは異なる直線を定めるので、求める本数はこの方程式の異なる実数解の個数である。 $$F_a'(p)=p(3p-8a),\qquad F_a(0)=1.$$ 負の範囲には常に解がちょうど1つある。$a\ge0$ なら $F_a$ は $p<0$ で増加し、$p\to-\infty$ で負、$F_a(0)=1$ だからである。$a<0$ なら $p=8a/3<0$ で極大となり、 $$\displaystyle F_a\left(\frac{8a}{3}\right)=1-\frac{256a^3}{27}>0.$$ 極大点より左では $F_a$ は $-\infty$ から増加して正となるので、負の解はそこにちょうど1つある。極大点から $0$ までは減少するが、両端の値は正であるから、そこには解がない。

$p>0$ では $a\le0$ のとき $F_a'(p)>0$ なので解はない。$a>0$ では $p=8a/3$ が極小点であり、 $$\displaystyle F_a\left(\frac{8a}{3}\right)=1-\frac{256a^3}{27}.$$ $$\displaystyle \alpha=\sqrt[3]{\frac{27}{256}}=\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}$$ とおく。極小値の符号から、正の範囲の異なる解は $a<\alpha$ で $0$ 個、$a=\alpha$ で $1$ 個（重解）、$a>\alpha$ で $2$ 個である。負の解1つを加えると、共通接線の本数は $$\displaystyle \begin{cases} 1 &(a<\alpha),\\ 2 &(a=\alpha),\\ 3 &(a>\alpha), \end{cases} \qquad \alpha=\frac{3}{4\sqrt[3]{4}}.$$

接線条件を代入後の二次方程式の重解条件で求め、傾きを満たす三次方程式の実数解数を導関数と増減で数える。