新潟大学 2012年数学第1問解答・解説

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1問題

新潟大学2012年度第1問

平面上の点 P(x, y) を $\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & a\\a & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ によって定められる点 Q(X, Y) に移す移動を考える。ここで，a は実数とする。楕円 C: x^2+4y^2=1 が与えられているとき，次の問いに答えよ。

(1) 点 P(x, y) が楕円 C 上を動くとき，点 Q(X, Y) は円 D: X^2+Y^2=1 上を動くとする。このとき a の値を求めよ。

(2) 点 P(x, y) が楕円 C 上を動くとき，点 Q(X, Y) は直線 l: Y=pX+q 上を動くとする。ただし p, q は実数とする。このとき a および p, q の値を求めよ。

(3) (2)において，点 P(x, y) が楕円 C 上を動くとき，点 Q(X, Y) の X の最大値，最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$u=x,v=2y$ とすると楕円は単位円になり、 $\displaystyle X=u+\frac a2v,\ Y=au+v$ 。 (1) $(u,v)=(1,0)$ より $a=0$ 、このとき円の条件を満たす。 (2) 対蹠点の像も対蹠点なので像を含む直線は原点を通る。係数比較から $p=a,\ pa/2=1$ 、よって $(a,p,q)=(\sqrt2,\sqrt2,0)$ または $(-\sqrt2,-\sqrt2,0)$ 。 (3) $c=a/2$ とすれば $(1+c^2)(u^2+v^2)-(u+cv)^2=(cu-v)^2\ge0$ 。等号が両符号で実現するので $X$ の最大・最小は $\pm\sqrt{3/2}$ 。

この問題で使う考え方

変数変換による円の標準化
係数比較
平方完成型の恒等式による最大最小

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