3宮崎大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1) $AP:PB=1:2$ より、点 $P$ の位置ベクトルは $\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{2\vec a+\vec b}{3}$ である。また、$Q$ は $OA$ の中点なので $\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}\vec a$ である。$R$ は直線 $OP$ 上にあるから、ある実数 $t$ を用いて $\displaystyle \overrightarrow{OR}=t\frac{2\vec a+\vec b}{3}$ と表せる。一方、直線 $BQ$ 上にもあるので、ある実数 $s$ を用いて $\displaystyle \overrightarrow{OR}=\vec b+s(\frac{1}{2}\vec a-\vec b)$ と表せる。$\vec a,\vec b$ は平行でないから係数を比較して、$\displaystyle \frac{2t}{3}=\frac{s}{2},\quad \frac{t}{3}=1-s$。前式から $\displaystyle s=\frac{4t}{3}$ であり、これを後式に代入すると $\displaystyle \frac{t}{3}=1-\frac{4t}{3}$、したがって $\displaystyle t=\frac{3}{5}$ となる。よって $\displaystyle \overrightarrow{OR}=\frac{3}{5}\frac{2\vec a+\vec b}{3}=\frac{2\vec a+\vec b}{5}$。

(2) $G$ は三角形 $OAC$ の重心なので $\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\vec a+\vec c}{3}$。したがって $\displaystyle \overrightarrow{BG}=\frac{\vec a+\vec c-3\vec b}{3}$、また (1) より $\displaystyle \overrightarrow{CR}=\frac{2\vec a+\vec b-5\vec c}{5}$ である。$OA=x$ とおくと、与えられた長さと角から $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\frac{x}{2},\quad \vec b\cdot\vec c=\frac{1}{2}$、$|\vec b|=|\vec c|=1$ である。直交条件を内積で表して分母を払うと、 $$\displaystyle \begin{aligned}(\vec a+\vec c-3\vec b)\cdot(2\vec a+\vec b-5\vec c)&=0,\\2x^2+\frac{x}{2}-\frac{5x}{2}+x+\frac{1}{2}-5-3x-3+\frac{15}{2}&=0,\\2x^2-4x&=0.\end{aligned}$$ ここで $x=OA>0$ だから、$2x(x-2)=0$ より $x=2$ である。さらに、 $$\begin{aligned}25CR^2&=|2\vec a+\vec b-5\vec c|^2\\&=4|\vec a|^2+|\vec b|^2+25|\vec c|^2+4\vec a\cdot\vec b-20\vec a\cdot\vec c-10\vec b\cdot\vec c\\&=4\cdot4+1+25+4-20-5=21.\end{aligned}$$ 長さは正なので、$\displaystyle CR=\frac{\sqrt{21}}{5}$ である。