2宮崎大学 2007年 数学 第2問解答・解説

点 $P(a,b)$ は $\triangle ABC$ の内部にあるから、$|a|<1,\ 0<b<1-|a|$ である。

(1) 直線 $AB$ の方程式は $x+y=1$ であり、その法線方向は $(1,1)$ である。したがって $Q=(a+t,b+t)$ とおける。線分 $PQ$ の中点が $AB$ 上にあるので、$a+b+t=1$、すなわち $t=1-a-b$ である。よって $Q=(1-b,1-a)$。

(2) 直線 $BC$ の方程式は $x-y+1=0$ であり、その法線方向は $(1,-1)$ である。よって $R=(a+s,b-s)$ とおける。線分 $PR$ の中点が $BC$ 上にあることから $a-b+s+1=0$、したがって $s=b-a-1$ であり、$R=(b-1,a+1)$。

$Q,R$ の中点は $(0,1)$ であり、$\overrightarrow{QR}/2=(b-1,a)$ である。この方向ベクトルに垂直な $(a,1-b)$ を法線ベクトルとすれば、直線 $\ell$ は $a x+(1-b)(y-1)=0$、すなわち $a x+(1-b)y+b-1=0$ となる。

(3) 点 $O(0,0)$ と $\ell$ の距離は $$\displaystyle \frac{|b-1|}{\sqrt{a^2+(1-b)^2}}=\frac{1-b}{\sqrt{a^2+(1-b)^2}}$$ である。ここで $b<1$ だから、距離が $4/5$ より小さい条件は、両辺が正であることに注意して二乗すると $$\displaystyle 25(1-b)^2<16\{a^2+(1-b)^2\}\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad 3(1-b)<4|a|\quad\text{、すなわち}\quad b>1-\frac43|a|.$$ したがって求める範囲は、$\displaystyle |a|<1,\ 0<b<1-|a|,\ b>1-\frac43|a|$ を満たす点である。境界直線 $\displaystyle b=1-\frac43|a|$ は $AC$ と $\displaystyle D(\frac34,0)$、$\displaystyle E(-\frac34,0)$ で交わる。よって図では、$\triangle ABD$ と $\triangle BCE$ の内部を塗り、元の三角形の辺とこの境界線は含めない。

P=(a,b)が三角形内部にあり辺上にないので|a|<1、0<b<1−|a|。AB:x+y=1に関する反射でQ=(1−b,1−a)、BC:x−y+1=0に関する反射でR=(b−1,a+1)。QRの中点は(0,1)、方向は(b−1,a)だからℓ: ax+(1−b)y+b−1=0。原点からℓまでの距離は(1−b)/√(a²+(1−b)²)。これが4/5未満という条件はb>1−(4/3)|a|となり、三角形内の範囲との共通部分は△ABDと△BCEの内部。