11自治医科大学 2007年 数学 第11問解答・解説

2点 $\displaystyle (4,\frac12)$、$\displaystyle (2,-\frac32)$ を通る直線の傾きは$$\displaystyle \frac{\frac12-(-\frac32)}{4-2}=1$$である。したがって、この直線の方程式は $\displaystyle y=x-\frac72$ である。

放物線上の点を $\displaystyle P(t,\frac12t^2+2)$ とおく（$t$ は実数）。直線を $\displaystyle x-y-\frac72=0$ と書くと、その法線ベクトルは $(1,-1)$ であるから、点 $P$ と直線との距離は$$\displaystyle \begin{aligned}d(t)&=\frac{\left|t-(\frac12t^2+2)-\frac72\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\\&=\frac{\left|-\frac12(t-1)^2-5\right|}{\sqrt2}\\&=\frac{\frac12(t-1)^2+5}{\sqrt2}\geq\frac5{\sqrt2}.\end{aligned}$$等号は $t=1$ のとき成立するので、最短距離は $\displaystyle a=\frac5{\sqrt2}$ である。したがって、$$\displaystyle \frac25a^2=\frac25\left(\frac5{\sqrt2}\right)^2=5.$$選択肢では $\text{ハ}$ にあたる。