II慶應義塾大学 2010年 数学 第II問解答・解説

(1) 直線 $y=x$ に関する対称移動で $Q(x,y)$ を $Q'(y,x)$ に移すと、直線上の点 $P$ について $PQ=PQ'$ である。$Q(1,-1)$ は $A(a,0)$ と同じ側にあるため、$A$ と $Q'(-1,1)$ を結ぶ線分は直線 $y=x$ と交わる。三角不等式より、その交点を $P$ に選んだときに和が最小となり、 $$r(Q)=AQ'=\sqrt{(a+1)^2+1}.$$ したがって $\text{あ}=\sqrt{(a+1)^2+1}$ である。

$Q(2,\sqrt7)$ は $A$ と直線 $y=x$ の反対側にあるので、線分 $AQ$ が直線と交わる。この交点を $P$ に取れば三角不等式で等号となり、 $$r(Q)=AQ=\sqrt{(a-2)^2+7}.$$ よって $\text{い}=\sqrt{(a-2)^2+7}$ である。

(2) 曲線 $C$ 上では $\displaystyle x=\sqrt{\dfrac{1+y^2}{2}}$ である。直線 $y=x$ と $C$ の交点は $(1,1)$ だけであり、$y\leq1$ では $Q$ は $A$ と直線の同じ側、$y\geq1$ では反対側にある。したがって (1) の反射と線分の考え方から $$r(Q)^2= \begin{cases} (a-y)^2+x^2,& y\leq1,\\ (a-x)^2+y^2,& y\geq1. \end{cases}$$

(2)(i) $y\leq1$ の部分では $x^2=(1+y^2)/2$ だから $$\displaystyle r(Q)^2=a^2+\frac12-2ay+\frac32y^2 =\frac32\left(y-\frac{2a}{3}\right)^2+\frac{a^2}{3}+\frac12.$$ この式は $\displaystyle a\leq\dfrac32$ なら $\displaystyle y=\dfrac{2a}{3}$ で最小となり、$\displaystyle a\geq\dfrac32$ なら領域 $y\leq1$ の端 $y=1$ で最小となる。

一方、$y\geq1$ の部分では $y^2=2x^2-1$、$x\geq1$ なので $$\displaystyle r(Q)^2=a^2+3x^2-2ax-1 =3\left(x-\frac a3\right)^2+\frac{2a^2}{3}-1.$$ これは $a\leq3$ なら端 $x=1$、$a\geq3$ なら $\displaystyle x=\dfrac a3$ で最小となる。両部分を比べると、$\displaystyle 0<a\leq\dfrac32$ では $$\displaystyle \bigl((a-1)^2+1\bigr)-\left(\frac{a^2}{3}+\frac12\right)=\frac{(2a-3)^2}{6}\geq0,$$ $a\geq3$ では $$\displaystyle \bigl((a-1)^2+1\bigr)-\left(\frac{2a^2}{3}-1\right)=\frac{(a-3)^2}{3}\geq0.$$ 従って、前者の範囲での全体最小点は $\displaystyle y=\dfrac{2a}{3}$、後者の範囲では $\displaystyle x=\dfrac a3$ にある。それぞれ指定された点に一致するように $a$ を求めると、 $$\displaystyle \left(\frac{2a}{3}=\frac{\sqrt2}{4}\right)\text{したがって} a=\frac{3\sqrt2}{8}, \qquad \left(\frac a3=2\right)\text{したがって} a=6.$$ よって $\displaystyle \boxed{\text{う}=\dfrac{3\sqrt2}{8},\ \text{え}=6}$ である。

(2)(ii) $y=1$ が最小点となるのは、$y\leq1$ 側の二次式の頂点 $2a/3$ が $1$ 以上であり、かつ $y\geq1$ 側の二次式の頂点 $a/3$ が $1$ 以下である場合、すなわち $$\displaystyle \frac{2a}{3}\geq1\quad\text{かつ}\quad\frac a3\leq1.$$ この条件は $\displaystyle \dfrac32\leq a\leq3$ と同値である。端点では頂点がちょうど $(1,1)$ となるため含まれる。したがって求める範囲は $$\displaystyle \boxed{\frac32\leq a\leq3}.$$

検算として、(2)(i) の $a=3\sqrt2/8$ を代入すると $y=2a/3=\sqrt2/4$、$x=3/4$ となり、また $a=6$ では $x=a/3=2$、$y=\sqrt7$ となる。(ii) の両端 $a=3/2,3$ ではそれぞれの二次式の頂点が境界 $Q=(1,1)$ に一致し、両端とも含まれる。