III慶應義塾大学 2010年 数学 第III問解答・解説

各回の操作終了後に状態AまたはBにある確率は、直前の状態がAまたはBである場合だけから生じる。実際、球数は操作終了ごとに減少せず、Cに達した後にAまたはBへ戻ることはない。

(1) 状態Aは球数が $2,2,0$ である。追加を選んでも、選んだ球のある頂点には3個目が置かれるので、その追加球が戻されてAのままである。移動では、確率 $1/4$ で別の2個の頂点へ移ると3個目が戻されてAのまま、確率 $1/4$ で空の頂点へ移ってBとなる。したがってAからは、Aへ $3/4$、Bへ $1/4$ で移る。

状態Bは球数が $2,1,1$ である。追加では、2個ある頂点を選ぶ確率が $1/2$ なのでその追加は戻されてBのまま、1個の頂点を選ぶ確率が $1/2$ なので合計確率 $1/4$ でCとなる。移動では、2個ある頂点の球を選ぶ場合の全体確率は $1/4$ で、移動先はいずれも1個の頂点だからBのままである。1個の頂点の球を選ぶ場合、全体確率 $1/8$ で2個の頂点へ移って3個目が戻されBのまま、全体確率 $1/8$ で別の1個の頂点へ移ってAとなる。よってBからは、Aへ $1/8$、Bへ $1/4+3/8=5/8$、Cへ $1/4$ で移る。遷移確率をまとめると $$\displaystyle \begin{array}{c|ccc} & A & B & C\\ \hline A & \dfrac34 & \dfrac14 & 0\\ B & \dfrac18 & \dfrac58 & \dfrac14 \end{array}$$ となる。初期状態はAだから $$\displaystyle a_1=\frac34,\qquad b_1=\frac14,$$ また $n\geq2$ では $$\displaystyle a_n=\frac34a_{n-1}+\frac18b_{n-1},\qquad b_n=\frac14a_{n-1}+\frac58b_{n-1}.$$ したがって $\displaystyle \text{あ}=\dfrac34,\ \text{い}=\dfrac14,\ \text{う}=\dfrac34,\ \text{え}=\dfrac18,\ \text{お}=\dfrac14,\ \text{か}=\dfrac58$ である。

この漸化式から $$\displaystyle \begin{aligned} a_n-b_n&=\frac12(a_{n-1}-b_{n-1}),\\ a_n+\frac12b_n&=\frac78\left(a_{n-1}+\frac12b_{n-1}\right). \end{aligned}$$ 初項はそれぞれ $\displaystyle a_1-b_1=\dfrac12$、$\displaystyle a_1+\dfrac12b_1=\dfrac78$ なので $$\displaystyle a_n-b_n=\left(\frac12\right)^n,\qquad a_n+\frac12b_n=\left(\frac78\right)^n.$$ 特に $$\displaystyle b_n=\frac23\left\{\left(\frac78\right)^n-\left(\frac12\right)^n\right\}.$$

(2) 初めてCになるには、その直前がBであり、追加を選び、1個だけある頂点の球を選ぶ必要がある。この確率は $\displaystyle \dfrac12\cdot\dfrac12=\dfrac14$ である。従って $n\geq2$ では $\displaystyle c_n=\dfrac14b_{n-1}$ となる。最初の操作ではCにならず、得られる式は $n=1$ でも0となるから $$\displaystyle c_n=\frac16\left\{\left(\frac78\right)^{n-1}-\left(\frac12\right)^{n-1}\right\}\quad(n\geq1).$$ よって $\displaystyle \text{け}=\dfrac16\left\{\left(\dfrac78\right)^{n-1}-\left(\dfrac12\right)^{n-1}\right\}$ である。

(3) Cでは球数が5個なので、各頂点の個数は必ず $2,2,1$ である。Dになるには、この1個の頂点の球を選んで追加する必要があり、その確率は $\displaystyle \dfrac15\cdot\dfrac12=\dfrac1{10}$ である。それ以外の場合はCのままである。したがってCからCにとどまる確率は $\displaystyle \dfrac9{10}$ である。

初めてCになった時点を $n-k$ 回目（$1\leq k\leq n-2$）とすると、その後Cのまま $k-1$ 回続き、最後にDへ移る確率は $$\displaystyle c_{n-k}\left(\frac9{10}\right)^{k-1}\frac1{10}.$$ 異なる $k$ は互いに排反なので、(2)で得た $c_{n-k}$ を代入して $$\displaystyle d_n=\sum\limits _{k=1}^{n-2}\frac1{60} \left\{\left(\frac78\right)^{n-k-1}-\left(\frac12\right)^{n-k-1}\right\} \left(\frac9{10}\right)^{k-1}\quad(n\geq3).$$ したがって $$\displaystyle \text{こ}=\frac1{60} \left\{\left(\frac78\right)^{n-k-1}-\left(\frac12\right)^{n-k-1}\right\} \left(\frac9{10}\right)^{k-1}.$$

検算として、漸化式から $a_2=19/32,b_2=11/32$ となり、これらに対し $a_2-b_2=1/4=(1/2)^2$、$\displaystyle a_2+\dfrac12b_2=49/64=(7/8)^2$ である。また $c_2=b_1/4=1/16$、$d_3=c_2/10=1/160$ となり、一般式と一致する。