I慶應義塾大学 2010年 数学 第I問解答・解説

(1) $t=\tan\alpha$ とおく。$\displaystyle 0<\alpha<\dfrac{\pi}{4}$ だから $t>0$ であり、余角の公式から $$\displaystyle \frac1t-t=1,\qquad t^2+t-1=0.$$ 正の解をとり、 $$\displaystyle \tan\alpha=t=\frac{\sqrt5-1}{2}.$$ また $t^2=1-t$ より $$\displaystyle \sin2\alpha=\frac{2t}{1+t^2} =\frac{\sqrt5-1}{(5-\sqrt5)/2} =\frac{2}{\sqrt5}.$$ したがって $\displaystyle \boxed{\text{あ}=\dfrac{\sqrt5-1}{2},\ \text{い}=\dfrac{2}{\sqrt5}}$ である。

(2) 与えられた関数を微分すると $$f'(x)=2c_1e^{2x}+5c_2e^{5x},\qquad f''(x)=4c_1e^{2x}+25c_2e^{5x}.$$ よって $$f''(x)-7f'(x)+10f(x) =(4-14+10)c_1e^{2x}+(25-35+10)c_2e^{5x}=0.$$ これは任意の実数 $c_1,c_2$ について成り立つから、$\boxed{\text{う}=-7,\ \text{え}=10}$ である。

(3) 囲まれた領域は $\displaystyle 0\leq x\leq\dfrac12$、$\displaystyle 0\leq y\leq\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ である。まず、$x$ 軸のまわりの回転では、断面の半径は $\displaystyle y=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ だから $$\displaystyle \begin{aligned} V_1&=\pi\int_0^{1/2}\frac{x^2}{1-x^2}\,dx =\pi\int_0^{1/2}\left(-1+\frac1{1-x^2}\right)dx\\ &=\pi\left[-x+\frac12\log\frac{1+x}{1-x}\right]_0^{1/2} =\frac{\pi}{2}(\log3-1). \end{aligned}$$ したがって $\text{お}=\log3-1$ である。

次に、曲線を $x$ について解くと、$x\geq0$ より $$\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}.$$ また、直線 $\displaystyle x=\dfrac12$ と曲線の交点では $\displaystyle y=\dfrac1{\sqrt3}$ となる。高さ $y$ での領域の横幅は、内側の半径 $\displaystyle \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}$ から外側の半径 $\displaystyle \dfrac12$ までである。したがって $y$ 軸のまわりの回転体は円環を積み重ねたものとして $$\displaystyle V_2=\pi\int_0^{1/\sqrt3}\left(\frac14-\frac{y^2}{1+y^2}\right)dy =\pi\int_0^{1/\sqrt3}\left(\frac1{1+y^2}-\frac34\right)dy.$$ ここで $y=\tan t$ と置く。$0\le t\le\pi/6$ で $dy=dt/\cos^2t$、$1+y^2=1/\cos^2t$ だから、 $$\displaystyle \begin{aligned} V_2&=\pi\int_0^{\pi/6}\left(1-\frac{3}{4\cos^2t}\right)dt\\ &=\pi\left[t-\frac34\tan t\right]_0^{\pi/6} =\pi\left(\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{4}\right)\\ &=\frac\pi2\left(\frac\pi3-\frac{\sqrt3}{2}\right). \end{aligned}$$ よって $\displaystyle \boxed{\text{か}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt3}{2}}$ である。

検算として、(1) の $t$ は $t^2+t-1=0$ を満たし、元の余角の式 $1/t-t=1$ に戻る。(2) では $e^{2x}$ と $e^{5x}$ の係数がそれぞれ $0$ となる。(3) では各断面の半径が領域の端点から取られており、積分区間は $0\le x\le1/2$、または $0\le y\le1/\sqrt3$ である。